Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1.

Para resolver este problema, vamos a seguir los siguientes pasos:

### 1. Determinar la distancia entre la recta paralela y el punto de intersección
Primero necesitamos dos cosas:
- La ecuación de la recta paralela a \(-3x + 4y = -5\) que pasa por el punto \((-1, -1)\).
- El punto de intersección entre las rectas \( -7x + 2y = 4 \) y \( 2x - 8y = -1 \).

### Paso 1: Ecuación de la recta paralela
Sabemos que una recta paralela tiene la misma pendiente que la dada. La ecuación de la recta \( -3x + 4y = -5 \) está en la forma general \(Ax + By + C = 0\). Vamos a escribir esta ecuación en la forma pendiente-intersección \(y = mx + b\):

\[
-3x + 4y = -5
\]
\[
4y = 3x - 5
\]
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
\]

La pendiente de esta recta es \(m = \frac{3}{4}\).

La recta paralela tendrá la misma pendiente, y dado que pasa por el punto \((-1, -1)\), utilizamos la fórmula de la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Sustituyendo \(m = \frac{3}{4}\), \(x_1 = -1\), y \(y_1 = -1\):

\[
y - (-1) = \frac{3}{4}(x - (-1))
\]
\[
y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)
\]
\[
y + 1 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4}
\]
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

La ecuación de la recta paralela es \( y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \).

### Paso 2: Encontrar el punto de intersección entre las dos rectas
Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las rectas \( -7x + 2y = 4 \) y \( 2x - 8y = -1 \).

Resolvamos primero una de las ecuaciones para \(x\) o \(y\). Usamos la primera ecuación para despejar \(y\) en términos de \(x\):

\[
-7x + 2y = 4
\]
\[
2y = 7x + 4
\]
\[
y = \frac{7}{2}x + 2
\]

Sustituyamos este valor de \(y\) en la segunda ecuación:

\[
2x - 8\left(\frac{7}{2}x + 2\right) = -1
\]
\[
2x - 8\left(\frac{7}{2}x + 2\right) = -1
\]
\[
2x - 28x - 16 = -1
\]
\[
-26x - 16 = -1
\]
\[
-26x = 15
\]
\[
x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituyendo este valor de \(x\) en \(y = \frac{7}{2}x + 2\):

\[
y = \frac{7}{2}\left(-\frac{15}{26}\right) + 2
\]
\[
y = -\frac{105}{52} + 2 = -\frac{105}{52} + \frac{104}{52} = -\frac{1}{52}
\]

El punto de intersección es \( \left( -\frac{15}{26}, -\frac{1}{52} \right) \).

### Paso 3: Calcular la distancia
Finalmente, calculamos la distancia entre la recta paralela \( y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \) y el punto \( \left( -\frac{15}{26}, -\frac{1}{52} \right) \).

La fórmula para la distancia entre un punto \((x_1, y_1)\) y una recta en la forma \(Ax + By + C = 0\) es:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

La ecuación de la recta \( y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4} \) puede escribirse como \(3x - 4y - 1 = 0\). Aquí, \(A = 3\), \(B = -4\), y \(C = -1\).

Sustituyendo el punto \( \left( -\frac{15}{26}, -\frac{1}{52} \right) \) en la fórmula:

\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]
\[
d = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{4}{52} - 1|}{\sqrt{9 + 16}}
\]
\[
d = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{2}{26} - 1|}{\sqrt{25}}
\]
\[
d = \frac{|- \frac{45}{26} + \frac{2}{26} - \frac{26}{26}|}{5}
\]
\[
d = \frac{|- \frac{69}{26}|}{5}
\]
\[
d = \frac{\frac{69}{26}}{5} = \frac{69}{130}
\]

Por lo tanto, la distancia es \( \frac{69}{130} \), o aproximadamente \(0.53\) unidades.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta?
2. ¿Qué método alternativo podría usarse para encontrar la intersección de dos rectas?
3. ¿Cómo se puede encontrar la ecuación de una recta dada su pendiente y un punto?
4. ¿Qué otros métodos existen para calcular la distancia entre un punto y una recta?
5. ¿Qué aplicaciones tiene la distancia entre un punto y una recta en la geometría analítica?

### Tip:
Para evitar errores, asegúrate siempre de expresar correctamente las ecuaciones en la forma estándar antes de calcular la distancia entre un punto y una recta.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y=-1.

Solve a problem involving the distance between a parallel line and a point of intersection of two linear equations. This solution covers key geometry concepts, including finding the equation of a parallel line, solving systems of equations, and using the distance formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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