Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Para resolver este problema, primero vamos a dividirlo en dos partes:

1. **Encontrar el punto de intersección de las rectas**:
   - Recta 1: \(-7x + 2y = 4\)
   - Recta 2: \(2x - 8y = -1\)

2. **Determinar la distancia entre el punto \((-1, -1)\)** y la recta paralela a \(-3x + 4y = -5\), que pasa por ese mismo punto, y el punto de intersección de las rectas encontradas en la parte 1.

### Parte 1: Punto de intersección de las dos rectas

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por las dos rectas:
\[
-7x + 2y = 4 \quad \text{(1)}
\]
\[
2x - 8y = -1 \quad \text{(2)}
\]
Multiplicamos la ecuación (1) por 4 para que los coeficientes de \(y\) en ambas ecuaciones sean iguales:

\[
-28x + 8y = 16 \quad \text{(3)}
\]

Ahora sumamos la ecuación (2) y la nueva ecuación (3):

\[
(-28x + 8y) + (2x - 8y) = 16 + (-1)
\]
\[
-26x = 15
\]
\[
x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituimos \(x = -\frac{15}{26}\) en una de las ecuaciones originales, por ejemplo en la ecuación (1):
\[
-7\left(-\frac{15}{26}\right) + 2y = 4
\]
\[
\frac{105}{26} + 2y = 4
\]
Multiplicamos ambos lados por 26 para eliminar el denominador:
\[
105 + 52y = 104
\]
\[
52y = 104 - 105
\]
\[
52y = -1
\]
\[
y = -\frac{1}{52}
\]

Entonces, el punto de intersección de las dos rectas es:
\[
\left( -\frac{15}{26}, -\frac{1}{52} \right)
\]

### Parte 2: Ecuación de la recta paralela y la distancia

La ecuación de la recta dada es \(-3x + 4y = -5\). Queremos la recta que es paralela a esta, pero que pase por el punto \((-1, -1)\).

La pendiente de esta recta es \(\frac{3}{4}\) (ya que las rectas paralelas tienen la misma pendiente). Usamos la forma punto-pendiente para encontrar la ecuación de la recta paralela que pasa por \((-1, -1)\):

\[
y - (-1) = \frac{3}{4}(x - (-1))
\]
\[
y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)
\]
Multiplicamos ambos lados por 4 para eliminar el denominador:
\[
4(y + 1) = 3(x + 1)
\]
\[
4y + 4 = 3x + 3
\]
\[
3x - 4y = 1
\]

Ahora, calculamos la distancia entre el punto de intersección \(\left( -\frac{15}{26}, -\frac{1}{52} \right)\) y la recta \(3x - 4y = 1\). La fórmula de la distancia entre un punto \((x_1, y_1)\) y una recta \(Ax + By + C = 0\) es:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Para la recta \(3x - 4y = 1\), tenemos \(A = 3\), \(B = -4\), y \(C = -1\).

Sustituimos el punto \(\left( -\frac{15}{26}, -\frac{1}{52} \right)\):

\[
d = \frac{|3\left( -\frac{15}{26} \right) - 4\left( -\frac{1}{52} \right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]
Calculamos los valores:

\[
d = \frac{| -\frac{45}{26} + \frac{4}{52} - 1 |}{\sqrt{9 + 16}}
\]
\[
d = \frac{| -\frac{45}{26} + \frac{2}{26} - 1 |}{\sqrt{25}}
\]
\[
d = \frac{| -\frac{43}{26} - \frac{26}{26} |}{5}
\]
\[
d = \frac{| -\frac{69}{26} |}{5}
\]
\[
d = \frac{69}{26 \times 5}
\]
\[
d = \frac{69}{130}
\]
\[
d \approx 0.53
\]

Por lo tanto, la distancia es aproximadamente **0.53 unidades**.

¿Te gustaría más detalles o alguna explicación adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones usando el método de sustitución?
2. ¿Qué significa que dos rectas sean paralelas en términos de su pendiente?
3. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la distancia entre un punto y una recta?
4. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una recta perpendicular a una dada?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver sistemas de ecuaciones lineales?

**Tip**: Al calcular la distancia entre un punto y una recta, es útil tener la ecuación de la recta en su forma estándar \(Ax + By + C = 0\) para usar la fórmula directamente.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Learn how to find the distance between a point and a parallel line that passes through another point, using concepts from linear algebra and geometry. This problem also involves solving a system of linear equations to find the intersection of two lines. Ideal for students in Grades 10-12.

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