creame un ejercicio de ecuacion general de la elipse junto con su procedimiento

Aquí tienes un ejercicio de la **ecuación general de la elipse**, junto con el procedimiento detallado para resolverlo.

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### **Ejercicio:**

Dada la ecuación general de una elipse:

\[
\frac{(x + 1)^2}{16} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1
\]

1. Identifica el centro de la elipse.
2. Determina los semi-ejes mayor y menor.
3. Calcula la longitud de los ejes mayor y menor.
4. Encuentra las coordenadas de los focos.
5. Dibuja la elipse.

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### **Procedimiento:**

#### **Paso 1: Identificar el centro**
La ecuación de la elipse está en la forma estándar:

\[
\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1
\]

donde \( (h, k) \) es el centro de la elipse, \( a \) es el semi-eje mayor y \( b \) es el semi-eje menor.

En nuestra ecuación:

\[
\frac{(x + 1)^2}{16} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1
\]

Comparando con la forma estándar, identificamos que:

- \( h = -1 \)
- \( k = 2 \)

Por lo tanto, el **centro** de la elipse es \( (-1, 2) \).

#### **Paso 2: Determinar los semi-ejes**

De la ecuación:

\[
\frac{(x + 1)^2}{16} + \frac{(y - 2)^2}{4} = 1
\]

Los valores de \( a^2 \) y \( b^2 \) son los denominadores:

- \( a^2 = 16 \), por lo tanto, \( a = 4 \) (este es el **semi-eje mayor**).
- \( b^2 = 4 \), por lo tanto, \( b = 2 \) (este es el **semi-eje menor**).

#### **Paso 3: Calcular la longitud de los ejes**

- El eje mayor tiene una longitud de \( 2a = 2(4) = 8 \).
- El eje menor tiene una longitud de \( 2b = 2(2) = 4 \).

#### **Paso 4: Encontrar las coordenadas de los focos**

La distancia de los focos al centro, \( c \), se calcula usando la fórmula:

\[
c = \sqrt{a^2 - b^2}
\]

Sustituyendo \( a^2 = 16 \) y \( b^2 = 4 \):

\[
c = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46
\]

Los focos están ubicados a una distancia \( c \) del centro a lo largo del eje mayor, que en este caso es paralelo al eje \( x \) (porque \( a^2 = 16 \) está bajo \( x \)).

- El centro está en \( (-1, 2) \).
- Las coordenadas de los focos son: 
  \[
  (-1 + 2\sqrt{3}, 2) \quad \text{y} \quad (-1 - 2\sqrt{3}, 2)
  \]
  Aproximadamente: 
  \[
  (2.46, 2) \quad \text{y} \quad (-4.46, 2)
  \]

#### **Paso 5: Dibuja la elipse**

- El centro de la elipse está en \( (-1, 2) \).
- El eje mayor tiene una longitud de 8 y se extiende a lo largo del eje \( x \), por lo que los extremos del eje mayor son \( (-1 + 4, 2) = (3, 2) \) y \( (-1 - 4, 2) = (-5, 2) \).
- El eje menor tiene una longitud de 4 y se extiende a lo largo del eje \( y \), por lo que los extremos del eje menor son \( (-1, 2 + 2) = (-1, 4) \) y \( (-1, 2 - 2) = (-1, 0) \).
  
La elipse es más ancha en el eje \( x \) y más estrecha en el eje \( y \).

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### **Resumen del resultado**:

1. **Centro**: \( (-1, 2) \)
2. **Semi-eje mayor**: \( a = 4 \), longitud del eje mayor: 8.
3. **Semi-eje menor**: \( b = 2 \), longitud del eje menor: 4.
4. **Focos**: Aproximadamente en \( (2.46, 2) \) y \( (-4.46, 2) \).

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¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta sobre estos pasos?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para profundizar:

1. ¿Cómo afecta el valor de \( c \) a la excentricidad de la elipse?
2. ¿Qué ocurre si los valores de \( a \) y \( b \) son iguales en una elipse?
3. ¿Cómo se transforma la ecuación de una elipse al mover su centro al origen?
4. ¿Cómo puedes identificar si una elipse está orientada horizontal o verticalmente?
5. ¿Cómo influye el cambio de signos de \( h \) y \( k \) en la ubicación del centro?

**Tip**: La excentricidad de una elipse se calcula como \( e = \frac{c}{a} \). Mientras más cerca esté de 0, más circular es la elipse, y mientras más cerca esté de 1, más alargada será.

Resuelve un ejercicio de la ecuación general de la elipse con nuestro procedimiento detallado paso a paso. Aprende cómo identificar el centro, los semi-ejes mayor y menor, calcular la longitud de los ejes, encontrar las coordenadas de los focos y dibujar la elipse. Ideal para estudiantes de Grados 11-12.

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