Expresar en forma trigonométrica o polar.
𝑧 = 1 + √3 �

Para expresar el número complejo \( z = 1 + \sqrt{3}i \) en forma trigonométrica (o polar), debemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Obtener el módulo \( |z| \)
El módulo de un número complejo \( z = a + bi \) se calcula como:

\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

En este caso, \( a = 1 \) y \( b = \sqrt{3} \), entonces:

\[
|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
\]

### Paso 2: Calcular el argumento \( \theta \)
El argumento de \( z \) es el ángulo \( \theta \) que forma el número complejo con el eje real positivo, y se calcula como:

\[
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)
\]

Sustituyendo \( a = 1 \) y \( b = \sqrt{3} \):

\[
\theta = \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \tan^{-1} (\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \, \text{radianes} \, \left(60^\circ\right)
\]

### Paso 3: Expresar en forma trigonométrica
La forma trigonométrica de un número complejo es:

\[
z = |z| \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)
\]

Sustituyendo el módulo \( |z| = 2 \) y el argumento \( \theta = \frac{\pi}{3} \):

\[
z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)
\]

### Forma trigonométrica:
\[
z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)
\]

### Forma polar:
En notación polar, esto se puede escribir como:

\[
z = 2 \text{cis} \frac{\pi}{3}
\]

donde "cis" representa \( \cos \theta + i \sin \theta \).

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

**Preguntas relacionadas**:
1. ¿Cómo se expresa un número complejo en forma cartesiana?
2. ¿Cómo convertir de forma polar a cartesiana?
3. ¿Qué significa el argumento de un número complejo?
4. ¿Cómo afecta el signo del número imaginario al argumento?
5. ¿Cómo sumar números complejos en forma polar?

**Tip**: Recuerda que en la forma polar, el ángulo debe estar en radianes si se trabaja con cálculos trigonométricos estándar.

Expresar en forma trigonométrica o polar. z = 1 + √3 i

Learn how to express the complex number z = 1 + √3i in polar form using trigonometric identities. This guide explains step-by-step calculations, including the modulus, argument, and final polar representation. Suitable for students in Grades 10-12 studying complex numbers.

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