Sea 𝑧 =−1+𝑖/√2
. Demostrar que 𝑧^4 = −1.

Dado \( z = \frac{-1 + i}{\sqrt{2}} \), debemos demostrar que \( z^4 = -1 \).

### Paso 1: Convertir a forma polar

Es más fácil trabajar con números complejos en su **forma polar**. Para ello, necesitamos calcular el **módulo** y el **argumento** de \( z \).

1. **Módulo de \( z \)**:
   \[
   |z| = \frac{| -1 + i |}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(-1)^2 + (1)^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1
   \]
   Por lo tanto, el módulo de \( z \) es \( |z| = 1 \).

2. **Argumento de \( z \)**:
   Para calcular el argumento, recordemos que \( z = -1 + i \), cuya parte real es \( -1 \) y parte imaginaria es \( 1 \). Esto significa que el argumento \( \theta \) se encuentra en el segundo cuadrante. Usamos la función tangente inversa:
   \[
   \theta = \text{arg}(z) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{-1}\right) = \tan^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4}
   \]

### Paso 2: Expresar \( z \) en forma polar

Ahora que conocemos el módulo y el argumento de \( z \), podemos expresar \( z \) en forma polar:
\[
z = 1 \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right)
\]

### Paso 3: Calcular \( z^4 \)

Usamos la fórmula de De Moivre para elevar un número complejo a una potencia:
\[
z^n = r^n \left( \cos (n\theta) + i \sin (n\theta) \right)
\]
Para \( z^4 \):
\[
z^4 = 1^4 \left( \cos \left(4 \cdot \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( 4 \cdot \frac{3\pi}{4} \right) \right)
\]
\[
z^4 = \cos(3\pi) + i \sin(3\pi)
\]

### Paso 4: Evaluar \( \cos(3\pi) \) y \( \sin(3\pi) \)

Sabemos que:
\[
\cos(3\pi) = -1 \quad \text{y} \quad \sin(3\pi) = 0
\]

Por lo tanto:
\[
z^4 = -1 + 0i = -1
\]

### Conclusión:

Hemos demostrado que \( z^4 = -1 \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo se convierte un número complejo de forma cartesiana a polar?
2. ¿Qué es la fórmula de De Moivre y cómo se utiliza?
3. ¿Cómo se calcula el argumento de un número complejo?
4. ¿Qué significa que el módulo de un número complejo sea 1?
5. ¿Cómo se evalúan funciones trigonométricas en múltiplos de \( \pi \)?

**Tip**: Cuando trabajes con números complejos, la conversión a forma polar suele simplificar el cálculo de potencias y raíces.

Sea z = (-1 + i)/√2 . Demostrar que z^4 = −1.

In this problem, we demonstrate how to prove that z^4 = -1 for the complex number z = (-1 + i)/√2 by converting to polar form and using De Moivre's Theorem. This solution covers key concepts in complex numbers, including calculating modulus, argument, and using trigonometric identities. Suitable for advanced pre-calculus and undergraduate students.

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