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Para resolver el problema, necesitamos calcular el rendimiento promedio en carretera. En este caso, la variable \( Y \) representa los kilómetros rendidos en carretera, mientras que \( X \) representa los kilómetros rendidos en ciudad. La función de densidad de probabilidad conjunta \( f(x, y) \) está definida de la siguiente manera:

\[
f(x, y) = \begin{cases} 
\frac{1}{4675} (2y + x) & 6 \leq x \leq 11, \ 8 \leq y \leq 13 \\
0 & \text{en otro caso}
\end{cases}
\]

Para calcular el rendimiento promedio en carretera (es decir, el valor esperado de \( Y \)), debemos calcular la esperanza matemática de \( Y \), que se define como:

\[
E[Y] = \int_{y=8}^{13} \int_{x=6}^{11} y \, f(x, y) \, dx \, dy
\]

Sabemos que \( f(x, y) \) es la función de densidad de probabilidad conjunta, por lo que este cálculo implica:

1. Integrar la función \( y \cdot f(x, y) \) respecto a \( x \) en los límites de \( 6 \) a \( 11 \).
2. Integrar el resultado respecto a \( y \) en los límites de \( 8 \) a \( 13 \).

Voy a proceder a calcular esto.El rendimiento promedio en carretera, es decir, el valor esperado de \( Y \), es aproximadamente **1.68 kilómetros por litro**.

¿Te gustaría más detalles sobre el procedimiento o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para expandir el tema:

1. ¿Cómo se calcula el valor esperado de una variable aleatoria en general?
2. ¿Cómo se interpretan las funciones de densidad de probabilidad conjuntas?
3. ¿Qué significa integrar una función de densidad de probabilidad?
4. ¿Cuál sería el rendimiento promedio en ciudad \( X \) para este problema?
5. ¿Qué propiedades debe cumplir una función de densidad de probabilidad?

**Tip:** Cuando se trata de funciones de densidad de probabilidad conjuntas, integrar sobre las dos variables te permite encontrar probabilidades y valores esperados específicos para cada variable.

Determine el rendimiento promedio en carretera dado la función de densidad de probabilidad conjunta f(x,y).

Resuelve un problema de cálculo del rendimiento promedio en carretera utilizando la función de densidad de probabilidad conjunta para dos variables aleatorias. El problema cubre conceptos clave de probabilidad y cálculo integral.

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