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¡Claro! Veamos la pregunta que has compartido.

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### Pregunta:
Se sabe que la cantidad de kilómetros que rinde un auto es una variable aleatoria, donde \( X \) corresponde a los kilómetros rendidos en ciudad y \( Y \) los kilómetros rendidos en carretera por litro de combustible. La función de densidad de probabilidad es la siguiente:

\[
f(x, y) =
\begin{cases} 
\frac{1}{4675} (2y + x) & 6 \leq x \leq 11, 8 \leq y \leq 13 \\
0 & \text{eoc}
\end{cases}
\]

Se pide **determinar el rendimiento promedio en carretera**, es decir, encontrar el valor esperado de \( Y \), \( E[Y] \).

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### Solución:

Para determinar el rendimiento promedio en carretera (valor esperado de \( Y \)), utilizamos la definición del valor esperado para una variable continua en un espacio bidimensional:

\[
E[Y] = \int_{y=8}^{13} \int_{x=6}^{11} y \cdot f(x,y) \, dx \, dy
\]

Sabemos que la función de densidad \( f(x, y) = \frac{1}{4675} (2y + x) \), así que sustituimos esto en la integral:

\[
E[Y] = \int_{y=8}^{13} \int_{x=6}^{11} y \cdot \frac{1}{4675} (2y + x) \, dx \, dy
\]

#### Paso 1: Resolver la integral con respecto a \( x \)

\[
\int_{x=6}^{11} y \cdot \frac{1}{4675} (2y + x) \, dx = \frac{1}{4675} y \int_{x=6}^{11} (2y + x) \, dx
\]

Ahora resolvemos la integral interna:

\[
\int_{x=6}^{11} (2y + x) \, dx = \int_{x=6}^{11} 2y \, dx + \int_{x=6}^{11} x \, dx
\]

\[
= 2y(x \big|_{6}^{11}) + \frac{x^2}{2} \bigg|_{6}^{11}
\]

Evaluando estas integrales:

\[
2y(11 - 6) = 10y
\]

\[
\frac{11^2}{2} - \frac{6^2}{2} = \frac{121}{2} - \frac{36}{2} = \frac{85}{2}
\]

Entonces:

\[
\int_{x=6}^{11} (2y + x) \, dx = 10y + \frac{85}{2}
\]

#### Paso 2: Sustituir y resolver la integral con respecto a \( y \)

Sustituimos el resultado de la integral interna en la integral externa:

\[
E[Y] = \frac{1}{4675} \int_{y=8}^{13} y (10y + \frac{85}{2}) \, dy
\]

Expandimos la expresión:

\[
E[Y] = \frac{1}{4675} \int_{y=8}^{13} (10y^2 + \frac{85}{2}y) \, dy
\]

Resolvemos cada parte:

\[
\int_{y=8}^{13} 10y^2 \, dy = 10 \cdot \frac{y^3}{3} \bigg|_{8}^{13} = \frac{10}{3} (13^3 - 8^3) = \frac{10}{3} (2197 - 512) = \frac{10}{3} \cdot 1685 = 5616.67
\]

\[
\int_{y=8}^{13} \frac{85}{2} y \, dy = \frac{85}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \bigg|_{8}^{13} = \frac{85}{4} (13^2 - 8^2) = \frac{85}{4} (169 - 64) = \frac{85}{4} \cdot 105 = 2228.75
\]

#### Paso 3: Sumar y multiplicar por la constante

Sumamos los resultados de las integrales:

\[
E[Y] = \frac{1}{4675} (5616.67 + 2228.75) = \frac{1}{4675} \cdot 7845.42 = 1.677 \, \text{km/litro}
\]

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### Respuesta:

El rendimiento promedio en carretera es **1.677 km/litro**.

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¿Te gustaría más detalles sobre el procedimiento? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se define una función de densidad de probabilidad en dos variables?
2. ¿Qué es el valor esperado y cómo se calcula en variables continuas?
3. ¿Por qué es importante integrar primero respecto a una variable y luego a la otra?
4. ¿Qué aplicaciones tiene el cálculo del valor esperado en la vida diaria?
5. ¿Cómo afecta el dominio de la función de densidad en el cálculo del valor esperado?

**Tip**: En problemas de varias variables aleatorias, descomponer la integral en pasos claros ayuda a evitar errores.

Se sabe que la cantidad de kilómetros que rinde un auto es una variable aleatoria, donde X corresponde a los kilómetros rendidos en ciudad y Y los kilómetros rendidos en carretera por litro de combustible. La función de densidad de probabilidad es la siguiente: f(x,y) = (1/4675)(2y + x) para 6 ≤ x ≤ 11 y 8 ≤ y ≤ 13, 0 en otro caso. Determine el rendimiento promedio en carretera.

Resuelve un problema de cálculo de probabilidades para determinar el rendimiento promedio en carretera de un auto. Utiliza una función de densidad de probabilidad bidimensional y aplica integrales dobles para encontrar el valor esperado. Ideal para estudiantes universitarios de cálculo avanzado.

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