Suponga que la función de densidad de probabilidad de la magnitud X de una carga dinámica sobre un puente (en newtons) está dada por:
f left parenthesis x right parenthesis open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 1 over 8 plus 3 over 8 x space space space space space space 0 less or equal than x less or equal than 2 end cell row cell 0 space space space space space space space space space space space space space d e space l o space c o n t r a r i o end cell end table close
Calcule la probabilidad de que la carga dinámica sea menor que 0.8 N.

La función de densidad de probabilidad está definida por:

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{8} + \frac{3}{8}x & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\
0 & \text{de lo contrario}
\end{cases}
\]

La probabilidad de que la carga dinámica sea menor que \(0.8\) N se calcula como:

\[
P(X < 0.8) = \int_0^{0.8} f(x) \, dx
\]

Sustituyendo la expresión para \(f(x)\), tenemos:

\[
P(X < 0.8) = \int_0^{0.8} \left( \frac{1}{8} + \frac{3}{8}x \right) \, dx
\]

Ahora, procedamos a calcular esta integral:

\[
P(X < 0.8) = \int_0^{0.8} \frac{1}{8} \, dx + \int_0^{0.8} \frac{3}{8}x \, dx
\]

### 1. Primera integral:
\[
\int_0^{0.8} \frac{1}{8} \, dx = \frac{1}{8} \left[ x \right]_0^{0.8} = \frac{1}{8} \times (0.8 - 0) = \frac{0.8}{8} = 0.1
\]

### 2. Segunda integral:
\[
\int_0^{0.8} \frac{3}{8}x \, dx = \frac{3}{8} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^{0.8} = \frac{3}{8} \times \frac{0.8^2}{2} = \frac{3}{8} \times \frac{0.64}{2} = \frac{3}{8} \times 0.32 = 0.12
\]

### Sumando ambas integrales:

\[
P(X < 0.8) = 0.1 + 0.12 = 0.22
\]

Por lo tanto, la probabilidad de que la carga dinámica sea menor que \(0.8\) N es \( P(X < 0.8) = 0.22 \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la probabilidad para otros valores de \(x\)?
2. ¿Qué ocurre si la función de densidad es distinta?
3. ¿Cómo se interpreta una función de densidad de probabilidad en física?
4. ¿Qué propiedades debe cumplir una función de densidad de probabilidad?
5. ¿Qué representa el área bajo la curva en una función de densidad?

### Tip:
Recuerda que el área bajo una función de densidad de probabilidad siempre debe ser igual a 1 en su dominio.

Suponga que la función de densidad de probabilidad de la magnitud X de una carga dinámica sobre un puente (en newtons) está dada por: f(x) = { 1/8 + 3/8x, 0 <= x <= 2; 0, de lo contrario }. Calcule la probabilidad de que la carga dinámica sea menor que 0.8 N.

Aprende cómo calcular la probabilidad de que una carga dinámica sea menor que 0.8 N usando una función de densidad de probabilidad. Este problema utiliza conceptos de probabilidad y cálculo integral. Es adecuado para estudiantes de nivel universitario en probabilidad y estadística.

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