Para comprobar que la función 𝑓 ( 𝑡 ) f(t) es una función de densidad de probabilidad y para determinar su función de distribución acumulada (FDA), seguimos los siguientes pasos: Verificación de la función de densidad Dada la función de densidad 𝑓 ( 𝑡 ) f(t): 𝑓 ( 𝑡 ) = { 𝜆 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) si  𝑡 ≥ 𝑐 0 si  𝑡 < 𝑐 f(t)={ λe −λ(t−c) 0 ​ si t≥c si t<c ​ donde 𝜆 > 0 λ>0 es el parámetro de amortiguamiento y 𝑐 c es el parámetro de posición, debemos verificar que la integral de 𝑓 ( 𝑡 ) f(t) sobre todo el dominio sea igual a 1. La integral a evaluar es: ∫ − ∞ ∞ 𝑓 ( 𝑡 )   𝑑 𝑡 ∫ −∞ ∞ ​ f(t)dt Dividimos esta integral en dos partes, antes y después de 𝑡 = 𝑐 t=c: ∫ − ∞ 𝑐 𝑓 ( 𝑡 )   𝑑 𝑡 + ∫ 𝑐 ∞ 𝑓 ( 𝑡 )   𝑑 𝑡 ∫ −∞ c ​ f(t)dt+∫ c ∞ ​ f(t)dt Para 𝑡 < 𝑐 t<c, 𝑓 ( 𝑡 ) = 0 f(t)=0, así que la primera integral es: ∫ − ∞ 𝑐 0   𝑑 𝑡 = 0 ∫ −∞ c ​ 0dt=0 Para 𝑡 ≥ 𝑐 t≥c, 𝑓 ( 𝑡 ) = 𝜆 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) f(t)=λe −λ(t−c) , así que la segunda integral es: ∫ 𝑐 ∞ 𝜆 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 )   𝑑 𝑡 ∫ c ∞ ​ λe −λ(t−c) dt Realizamos un cambio de variable para simplificar la integral. Sea 𝑢 = 𝑡 − 𝑐 u=t−c, entonces 𝑑 𝑢 = 𝑑 𝑡 du=dt. La integral se convierte en: ∫ 0 ∞ 𝜆 𝑒 − 𝜆 𝑢   𝑑 𝑢 ∫ 0 ∞ ​ λe −λu du La integral de 𝑒 − 𝜆 𝑢 e −λu con respecto a 𝑢 u es: ∫ 0 ∞ 𝑒 − 𝜆 𝑢   𝑑 𝑢 = [ − 1 𝜆 𝑒 − 𝜆 𝑢 ] 0 ∞ = 1 𝜆 ∫ 0 ∞ ​ e −λu du=[− λ 1 ​ e −λu ] 0 ∞ ​ = λ 1 ​ Multiplicando por 𝜆 λ, obtenemos: 𝜆 ⋅ 1 𝜆 = 1 λ⋅ λ 1 ​ =1 Por lo tanto, la integral de 𝑓 ( 𝑡 ) f(t) sobre todo su dominio es 1, confirmando que 𝑓 ( 𝑡 ) f(t) es una función de densidad de probabilidad válida. Determinación de la función de distribución acumulada (FDA) La función de distribución acumulada 𝐹 ( 𝑡 ) F(t) se obtiene integrando la función de densidad desde − ∞ −∞ hasta 𝑡 t: 𝐹 ( 𝑡 ) = ∫ − ∞ 𝑡 𝑓 ( 𝑢 )   𝑑 𝑢 F(t)=∫ −∞ t ​ f(u)du Dividimos esta integral en dos partes: Para 𝑡 < 𝑐 t<c: 𝐹 ( 𝑡 ) = ∫ − ∞ 𝑡 𝑓 ( 𝑢 )   𝑑 𝑢 = ∫ − ∞ 𝑡 0   𝑑 𝑢 = 0 F(t)=∫ −∞ t ​ f(u)du=∫ −∞ t ​ 0du=0 Para 𝑡 ≥ 𝑐 t≥c: 𝐹 ( 𝑡 ) = ∫ 𝑐 𝑡 𝜆 𝑒 − 𝜆 ( 𝑢 − 𝑐 )   𝑑 𝑢 F(t)=∫ c t ​ λe −λ(u−c) du Realizamos un cambio de variable 𝑢 − 𝑐 = 𝑣 u−c=v, entonces 𝑑 𝑢 = 𝑑 𝑣 du=dv. La integral se convierte en: ∫ 0 𝑡 − 𝑐 𝜆 𝑒 − 𝜆 𝑣   𝑑 𝑣 ∫ 0 t−c ​ λe −λv dv La integral de 𝑒 − 𝜆 𝑣 e −λv es: ∫ 0 𝑡 − 𝑐 𝑒 − 𝜆 𝑣   𝑑 𝑣 = [ − 1 𝜆 𝑒 − 𝜆 𝑣 ] 0 𝑡 − 𝑐 = 1 𝜆 − 1 𝜆 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) ∫ 0 t−c ​ e −λv dv=[− λ 1 ​ e −λv ] 0 t−c ​ = λ 1 ​ − λ 1 ​ e −λ(t−c) Multiplicando por 𝜆 λ, obtenemos: 𝜆 ( 1 𝜆 − 1 𝜆 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) ) = 1 − 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) λ( λ 1 ​ − λ 1 ​ e −λ(t−c) )=1−e −λ(t−c) Así, la función de distribución acumulada es: 𝐹 ( 𝑡 ) = { 0 si  𝑡 < 𝑐 1 − 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) si  𝑡 ≥ 𝑐 F(t)={ 0 1−e −λ(t−c) ​ si t<c si t≥c ​ Resumen La función 𝑓 ( 𝑡 ) f(t) es una función de densidad de probabilidad porque su integral sobre todo el dominio es 1. La función de distribución acumulada 𝐹 ( 𝑡 ) F(t) correspondiente es: 𝐹 ( 𝑡 ) = { 0 si  𝑡 < 𝑐 1 − 𝑒 − 𝜆 ( 𝑡 − 𝑐 ) si  𝑡 ≥ 𝑐 F(t)={ 0 1−e −λ(t−c) ​ si t<c si t≥c ​ es esto correcto?