 RESUELVE ESTE PROBLEMA EN ESPAÑOL

In a chemical processing plant, a liquid substance flows through a pipe, and the buildup of sediment in the pipe is 
causing a reduction in flow efficiency. The rate at which the pipe's cross-sectional area is being blocked by 
sediment over time  𝑡  (in hours) is modeled by the function  𝑏(𝑡)= 6𝑡+5
 (𝑡+1)(𝑡+2)
 , where  𝑏(𝑡) is the blockage rate in 
square centimeters per hour. 
 
Determine the total area of the pipe blocked by sediment over the first 4 hours of operation. 
 
Solution 
 
To find the total area of the pipe blocked by sediment over the first 4 hours, we need to integrate the blockage rate 
function over the interval from 0 to 4 hours. 
 
1. Set up the integral: 
 
   The total blocked area  𝐴  is given by: 
     
   𝐴=∫ 𝑏(𝑡) 4
 0
 𝑑𝑡 
     
   Substitute the given blockage rate 
function: 
     
�
�=∫ 6𝑡+5
 (𝑡+1)(𝑡+2)
 4
 0
 𝑑𝑡 
   
2. Partial Fractions Decomposition 
 
   We decompose the function 6𝑡+5
 (𝑡+1)(𝑡+2)
 
into partial fractions:     
6𝑡+5
 (𝑡+1)(𝑡+2) = 𝐴
 𝑡+1+ 𝐵
 𝑡+2 
     
Multiply both sides by   (𝑡+1)(𝑡+2)  to 
eliminate the denominator: 
     
6𝑡+5=𝐴(𝑡+2)+𝐵(𝑡+1) 
 
 
 
(…) Complete the calculations 
 
 
 
7. Final Answer: 
 
   The total area of the pipe blocked by 
sediment over the first 4 hours of 
operation is: 
 [−𝑙𝑛(5)+7𝑙𝑛(3)] 
 square centimeters.

Para resolver este problema, vamos seguir el mismo enfoque que en inglés, pero en español.

### Problema

En una planta de procesamiento químico, una sustancia líquida fluye a través de una tubería, y la acumulación de sedimento en la tubería está causando una reducción en la eficiencia del flujo. La tasa a la que el área de la sección transversal de la tubería se está bloqueando por sedimento a lo largo del tiempo \( t \) (en horas) está modelada por la función:

\[
b(t) = \frac{6t + 5}{(t+1)(t+2)}
\]

donde \( b(t) \) es la tasa de bloqueo en centímetros cuadrados por hora.

### Objetivo

Determinar el área total de la tubería bloqueada por sedimento durante las primeras 4 horas de operación.

### Solución

Para encontrar el área total bloqueada por sedimento en las primeras 4 horas, necesitamos integrar la función de la tasa de bloqueo en el intervalo de 0 a 4 horas.

### 1. Plantear la Integral

El área total bloqueada \( A \) está dada por:

\[
A = \int_0^4 b(t) \, dt = \int_0^4 \frac{6t + 5}{(t+1)(t+2)} \, dt
\]

### 2. Descomposición en Fracciones Parciales

Para integrar \( b(t) \), primero descomponemos la función en fracciones parciales. Expresamos \( \frac{6t + 5}{(t+1)(t+2)} \) como:

\[
\frac{6t + 5}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}
\]

Multiplicamos ambos lados por \( (t+1)(t+2) \) para eliminar los denominadores:

\[
6t + 5 = A(t + 2) + B(t + 1)
\]

Expandiendo el lado derecho:

\[
6t + 5 = At + 2A + Bt + B
\]

\[
6t + 5 = (A + B)t + (2A + B)
\]

Ahora, igualamos los coeficientes de términos similares:

- Para \( t \): \( A + B = 6 \)
- Términos constantes: \( 2A + B = 5 \)

### 3. Resolviendo para \( A \) y \( B \)

Resolvemos estos sistemas de ecuaciones:

1. De \( A + B = 6 \), obtenemos \( B = 6 - A \).
2. Sustituimos \( B = 6 - A \) en \( 2A + B = 5 \):

   \[
   2A + (6 - A) = 5
   \]

   \[
   2A + 6 - A = 5
   \]

   \[
   A + 6 = 5
   \]

   \[
   A = -1
   \]

3. Ahora sustituimos \( A = -1 \) en \( B = 6 - A \):

   \[
   B = 6 - (-1) = 7
   \]

Por lo tanto, \( A = -1 \) y \( B = 7 \).

### 4. Reescribir la Integral

Sustituimos \( A \) y \( B \) en las fracciones parciales:

\[
b(t) = \frac{-1}{t+1} + \frac{7}{t+2}
\]

Entonces, reescribimos la integral:

\[
A = \int_0^4 b(t) \, dt = \int_0^4 \left( \frac{-1}{t+1} + \frac{7}{t+2} \right) \, dt
\]

\[
A = \int_0^4 \frac{-1}{t+1} \, dt + \int_0^4 \frac{7}{t+2} \, dt
\]

### 5. Evaluar las Integrales

Evaluamos cada integral por separado:

\[
\int \frac{-1}{t+1} \, dt = -\ln|t+1|
\]

\[
\int \frac{7}{t+2} \, dt = 7\ln|t+2|
\]

Por lo tanto:

\[
A = \left[-\ln|t+1| + 7\ln|t+2|\right]_0^4
\]

\[
A = \left(-\ln|5| + 7\ln|6|\right) - \left(-\ln|1| + 7\ln|2|\right)
\]

\[
A = -\ln(5) + 7\ln(6) + \ln(1) - 7\ln(2)
\]

Dado que \( \ln(1) = 0 \):

\[
A = -\ln(5) + 7\ln(6) - 7\ln(2)
\]

### 6. Combinar los Términos

Usando propiedades de los logaritmos:

\[
A = -\ln(5) + \ln\left(\frac{6^7}{2^7}\right)
\]

\[
A = -\ln(5) + \ln\left(\frac{279936}{128}\right)
\]

Calculando el valor dentro del logaritmo:

\[
\frac{279936}{128} \approx 2186.25
\]

Ahora calculamos:

\[
A = \ln(2186.25) - \ln(5)
\]

\[
A \approx \ln\left(\frac{2186.25}{5}\right)
\]

\[
A \approx \ln(437.25)
\]

\[
A \approx 6.08 \, \text{centímetros cuadrados}
\]

### Conclusión

El área total de la tubería bloqueada por sedimento en las primeras 4 horas es aproximadamente \( 6.08 \) centímetros cuadrados.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas
1. ¿Cómo cambiaría la integral si la función de la tasa de bloqueo fuera diferente?
2. ¿Podemos usar otro método para resolver la integral, como la integración numérica?
3. ¿Qué sucede con la tasa de bloqueo después de un período de tiempo más largo?
4. ¿Cómo afectaría la presencia de una constante adicional en la función de la tasa de bloqueo al área bloqueada?
5. ¿Cómo afecta el cambio en los límites de integración al área total bloqueada?

### Consejo
Cuando realices descomposiciones en fracciones parciales, siempre verifica los valores sustituyendo de nuevo en la ecuación original para evitar errores de cálculo.

Explore how to calculate the total area blocked by sediment in a chemical processing plant's pipe over the first 4 hours. Detailed step-by-step solution using integration and partial fractions. Suitable for advanced high school and college-level students.

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