Tabla 4 Elección de ejercicios de aplicaciones de la integral definida

e	
Se considera la función c=3t+t^2 que representa el caudal que brota de una tubería, donde c se mide en litros por minuto y t en minutos. Calcula el volumen de agua que se consigue recoger en un tanque en las dos primeras horas.



Para resolver este problema, necesitamos calcular el **volumen de agua** recogido por el tanque en las dos primeras horas, dado el caudal \( c(t) = 3t + t^2 \), donde \( c(t) \) está en litros por minuto y \( t \) en minutos.

### Paso 1: Definir el intervalo de tiempo

Queremos calcular el volumen de agua durante las **primeras dos horas**, que es un intervalo de 0 a 120 minutos, ya que 2 horas = 120 minutos.

### Paso 2: Expresar el volumen mediante una integral

El volumen de agua recogido se obtiene integrando el caudal \( c(t) \) a lo largo del tiempo. La fórmula para el volumen \( V \) es:

\[
V = \int_{0}^{120} c(t) \, dt = \int_{0}^{120} (3t + t^2) \, dt
\]

### Paso 3: Calcular la integral

Primero integramos cada término de la función \( c(t) = 3t + t^2 \):

\[
\int (3t + t^2) \, dt = \int 3t \, dt + \int t^2 \, dt
\]

\[
\int 3t \, dt = \frac{3t^2}{2} \quad \text{y} \quad \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3}
\]

Así que, la integral indefinida es:

\[
\frac{3t^2}{2} + \frac{t^3}{3}
\]

### Paso 4: Evaluar la integral en los límites

Ahora evaluamos la integral definida desde \( t = 0 \) hasta \( t = 120 \):

\[
V = \left[ \frac{3t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right]_0^{120}
\]

Evaluando en \( t = 120 \):

\[
\frac{3(120)^2}{2} + \frac{(120)^3}{3} = \frac{3 \times 14400}{2} + \frac{1728000}{3}
\]

\[
= 21600 + 576000 = 597600 \, \text{litros}
\]

### Paso 5: Resultado final

El volumen de agua recogido en las dos primeras horas es de **597,600 litros**.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el cálculo?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva la fórmula para el caudal de una tubería?
2. ¿Qué significa físicamente la integral de una función de caudal?
3. ¿Cómo se comportaría el volumen si el caudal fuera constante?
4. ¿Qué pasaría si el caudal fuera una función más compleja, como una exponencial?
5. ¿Cómo influye el intervalo de tiempo en el volumen total recogido?

**Tip**: Al trabajar con integrales definidas, siempre es importante asegurarse de que las unidades de los límites de integración coincidan con las de la función.

Se considera la función c=3t+t^2 que representa el caudal que brota de una tubería, donde c se mide en litros por minuto y t en minutos. Calcula el volumen de agua que se consigue recoger en un tanque en las dos primeras horas.

Learn how to calculate the volume of water collected in a tank over two hours using definite integrals. This problem covers key calculus concepts such as fluid flow, integration, and the fundamental theorem of calculus. The function c(t) = 3t + t^2 represents the flow rate, and we integrate it over time to find the total volume.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation