Je veux connaitre le temps qu'il me faut pour diluer un volume de 100m3 qui a une concentration de 1500ppmvol d'HCN en soutirant un debit de 1 m3 en continue. et donc en prenant en compte que les 100m3 sont parfaitement homogene en concentration mais que cette concentration diminue avec le temps

Pour déterminer le temps nécessaire pour diluer un volume de 100 m³ ayant une concentration initiale de 1500 ppmvol (parties par million en volume) d'HCN en soutirant un débit constant de 1 m³/s, nous pouvons modéliser la situation avec une équation différentielle.

### Étape 1 : Formuler l'équation différentielle
Soit \( V = 100 \, \text{m}^3 \) le volume initial, \( Q = 1 \, \text{m}^3/\text{s} \) le débit de soutirage, et \( C(t) \) la concentration en HCN en fonction du temps \( t \) en ppmvol.

Le volume restant dans le réservoir à un instant \( t \) est donné par :
\[
V(t) = V - Qt = 100 - t \, \text{m}^3
\]

La variation de la concentration en fonction du temps peut être exprimée par l'équation différentielle suivante :
\[
\frac{dC(t)}{dt} = -\frac{Q}{V(t)} \cdot C(t)
\]
Où \( \frac{dC(t)}{dt} \) est la dérivée de \( C(t) \) par rapport au temps.

### Étape 2 : Résolution de l'équation différentielle
Cette équation est une équation différentielle linéaire de la forme :
\[
\frac{dC(t)}{dt} + \frac{C(t)}{V(t)} = 0
\]
Elle peut être résolue par séparation des variables ou en utilisant une méthode intégrale.

La solution générale est :
\[
C(t) = C_0 \cdot \exp\left(-\int_0^t \frac{Q}{V - Q\tau} d\tau \right)
\]
où \( C_0 = 1500 \, \text{ppmvol} \) est la concentration initiale.

Cette intégrale peut être simplifiée pour donner :
\[
C(t) = C_0 \cdot \left(\frac{V - Qt}{V}\right)
\]

### Étape 3 : Détermination du temps de dilution
Pour déterminer le temps nécessaire pour atteindre une concentration \( C(t) \) spécifique, nous résolvons pour \( t \) :
\[
C(t) = C_0 \cdot \frac{V - Qt}{V}
\]
Supposons que vous voulez atteindre une concentration \( C_f \) finale. On obtient alors :
\[
C_f = 1500 \cdot \frac{100 - t}{100}
\]

En isolant \( t \), on a :
\[
t = 100 \cdot \left(1 - \frac{C_f}{1500}\right)
\]

Si vous avez une concentration finale spécifique que vous souhaitez atteindre, vous pouvez substituer \( C_f \) et calculer le temps \( t \).

### Exemple
Si vous souhaitez atteindre une concentration finale de 500 ppmvol :
\[
t = 100 \cdot \left(1 - \frac{500}{1500}\right) = 100 \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = 100 \cdot \frac{2}{3} = 66,67 \, \text{secondes}
\]

Ainsi, il faudrait environ 66,67 secondes pour réduire la concentration de 1500 ppmvol à 500 ppmvol.

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Avez-vous besoin de plus de détails ou d'une clarification ? Voici quelques questions supplémentaires pour explorer ce sujet :

1. Quel serait l'effet d'un débit de soutirage différent sur le temps de dilution ?
2. Comment la concentration initiale affecte-t-elle le temps de dilution ?
3. Quelles hypothèses sous-tendent l'homogénéité de la concentration dans le réservoir ?
4. Quelle serait la concentration après un certain temps si aucun débit de soutirage n'était appliqué ?
5. Comment ce modèle changerait-il si le volume initial était différent ?

**Astuce** : Lorsque vous travaillez avec des équations différentielles, il est essentiel de bien comprendre les conditions initiales et les paramètres du système, car ils influencent directement la solution.

Learn how to calculate the time required to dilute a volume of 100 m³ with an initial concentration of 1500 ppmvol of HCN, by continuously extracting at a rate of 1 m³/s. Understand the mathematical model using differential equations and integration methods. Suitable for undergraduate studies.

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