Sia ABC un triangolo di lati AB=10cm, BC=17cm e AC=21cm. Determina la misura dei lati di un rettangolo equivalente ad ABC il cui perimetro è i 5/6 del perimetro di ABC

Per risolvere il problema, dobbiamo seguire questi passaggi:

### 1. Calcolo del perimetro del triangolo ABC:
Il perimetro \( P_{ABC} \) del triangolo ABC è la somma dei lati:

\[
P_{ABC} = AB + BC + AC = 10 \, \text{cm} + 17 \, \text{cm} + 21 \, \text{cm} = 48 \, \text{cm}
\]

### 2. Determinazione del perimetro del rettangolo:
Il perimetro \( P_{rett} \) del rettangolo è i \(\frac{5}{6}\) del perimetro del triangolo ABC:

\[
P_{rett} = \frac{5}{6} \times 48 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}
\]

### 3. Calcolo dell'area del triangolo ABC:
Utilizziamo la formula di Erone per calcolare l'area del triangolo. Prima calcoliamo il semiperimetro \( s \):

\[
s = \frac{P_{ABC}}{2} = \frac{48 \, \text{cm}}{2} = 24 \, \text{cm}
\]

L'area \( A_{ABC} \) del triangolo è:

\[
A_{ABC} = \sqrt{s(s - AB)(s - BC)(s - AC)} = \sqrt{24(24 - 10)(24 - 17)(24 - 21)}
\]
\[
A_{ABC} = \sqrt{24 \times 14 \times 7 \times 3} = \sqrt{7056} \, \text{cm}^2 = 84 \, \text{cm}^2
\]

### 4. Determinazione delle dimensioni del rettangolo:
L'area del rettangolo \( A_{rett} \) è uguale all'area del triangolo \( A_{ABC} \):

\[
A_{rett} = A_{ABC} = 84 \, \text{cm}^2
\]

Dato che il perimetro del rettangolo è 40 cm, e il perimetro di un rettangolo con lati \( x \) e \( y \) è:

\[
P_{rett} = 2x + 2y = 40 \, \text{cm} \quad \Rightarrow \quad x + y = 20 \, \text{cm}
\]

Ora abbiamo due equazioni:

\[
x + y = 20 \, \text{cm}
\]
\[
xy = 84 \, \text{cm}^2
\]

Risolvendo questo sistema di equazioni:

1. Espressione di \( y \) in termini di \( x \):
   \[
   y = 20 - x
   \]

2. Sostituzione nell'equazione dell'area:
   \[
   x(20 - x) = 84
   \]
   \[
   20x - x^2 = 84
   \]
   \[
   x^2 - 20x + 84 = 0
   \]

3. Risolviamo questa equazione quadratica:
   \[
   x = \frac{20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \times 1 \times 84}}{2 \times 1} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 336}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{20 \pm 8}{2}
   \]

   Quindi:
   \[
   x_1 = \frac{28}{2} = 14 \, \text{cm}, \quad x_2 = \frac{12}{2} = 6 \, \text{cm}
   \]

### 5. Conclusione:
Le dimensioni del rettangolo sono 14 cm e 6 cm.

Hai bisogno di ulteriori dettagli o chiarimenti?

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**Domande relative:**

1. Come si calcola l'area di un triangolo utilizzando altre formule?
2. Qual è l'importanza della formula di Erone in geometria?
3. Come si risolve un sistema di equazioni lineari?
4. Come si determina il tipo di triangolo dato il valore dei suoi lati?
5. Come si calcola l'altezza di un triangolo dati i lati?

**Tip:** Quando risolvi problemi di geometria, è utile disegnare una figura per visualizzare meglio la situazione.

Explore how to determine dimensions of a rectangle equivalent to triangle ABC with a perimeter 5/6 of ABC's perimeter. Includes step-by-step calculation of triangle perimeter, area using Heron's formula, and solving for rectangle dimensions. Suitable for high school students studying geometry and quadratic equations.

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