a) aus n gleichseitigen dreiecken mit der Seitenlänge a wird eine figur gelegt. Gib einen term für den umfang einer solchen figur an, wenn sich die dreiecke an m Seiten berühren. b) verfahre entsprechend mit einer figur aus regelmäßigen sechsecken.

### Aufgabe a) Umfang einer Figur aus \( n \) gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge \( a \), wobei sich die Dreiecke an \( m \) Seiten berühren:

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei Seiten mit der Länge \( a \). Ohne Berührungen würde der Umfang \( U \) der Figur aus \( n \) Dreiecken einfach die Summe der Umfänge aller Dreiecke sein:

\[
U_{\text{ohne Berührung}} = n \cdot 3a
\]

Wenn sich jedoch \( m \) Seiten zwischen den Dreiecken berühren, dann werden diese Seiten beim Gesamtumfang nicht mehr gezählt, da sie innerhalb der Figur liegen. Jede Berührung reduziert den Umfang um \( a \). Der Umfang der Figur beträgt daher:

\[
U = n \cdot 3a - m \cdot a
\]

Dies ist der Term für den Umfang der Figur aus \( n \) gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge \( a \), wobei sich \( m \) Seiten berühren.

---

### Aufgabe b) Umfang einer Figur aus \( n \) regelmäßigen Sechsecken mit der Seitenlänge \( a \), wobei sich die Sechsecke an \( m \) Seiten berühren:

Ein regelmäßiges Sechseck hat sechs Seiten mit der Länge \( a \). Ohne Berührungen würde der Umfang \( U \) der Figur aus \( n \) Sechsecken sein:

\[
U_{\text{ohne Berührung}} = n \cdot 6a
\]

Ähnlich wie bei den Dreiecken reduzieren sich die Berührungen zwischen den Sechsecken um \( a \) pro Berührung. Der Umfang der Figur beträgt also:

\[
U = n \cdot 6a - m \cdot a
\]

Dies ist der Term für den Umfang der Figur aus \( n \) regelmäßigen Sechsecken mit der Seitenlänge \( a \), wobei sich \( m \) Seiten berühren.

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Hast du dazu noch Fragen oder möchtest du nähere Details zu einem bestimmten Punkt? Hier sind 5 weiterführende Fragen:

1. Wie verändert sich der Umfang, wenn sich alle Dreiecke oder Sechsecke komplett aneinander anlegen?
2. Welche Figur ergibt den maximal möglichen Umfang, wenn keine Berührung stattfindet?
3. Wie berechnet man die Fläche der Figuren aus \( n \) Dreiecken bzw. Sechsecken?
4. Wie viele Berührungen \( m \) sind möglich, wenn \( n \) Dreiecke oder Sechsecke verwendet werden?
5. Was passiert mit dem Umfang, wenn die Seitenlänge \( a \) verdoppelt wird?

**Tipp:** Die Anzahl der Berührungen \( m \) kann nicht größer als die Anzahl der möglichen angrenzenden Seiten der Dreiecke bzw. Sechsecke sein!

a) Aus n gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge a wird eine Figur gelegt. Gib einen Term für den Umfang einer solchen Figur an, wenn sich die Dreiecke an m Seiten berühren. b) Verfahre entsprechend mit einer Figur aus regelmäßigen Sechsecken.

Learn how to calculate the perimeter of figures formed by n equilateral triangles or regular hexagons with side length a. This problem focuses on geometry concepts, including perimeter reduction when m sides of the shapes touch. Suitable for students in Grades 9-11.

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