¿Cuál es la mayor área posible de un triángulo cuya hipotenusa mide 5cm de largo?

Para encontrar el área máxima posible de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 5 cm, necesitamos considerar que el área \( A \) de un triángulo rectángulo se calcula usando la fórmula:

\[
A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}
\]

Dado que es un triángulo rectángulo, la hipotenusa \( c \) se relaciona con los catetos \( a \) y \( b \) mediante el teorema de Pitágoras:

\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

Sabemos que \( c = 5 \) cm, por lo que:

\[
5^2 = a^2 + b^2
\]
\[
25 = a^2 + b^2
\]

Queremos maximizar el área \( A \), que es:

\[
A = \frac{1}{2} \times a \times b
\]

Usando la relación de los catetos \( a \) y \( b \), podemos expresar el área en función de un solo cateto. Sin embargo, un enfoque más simple es observar que el área de un triángulo rectángulo es máxima cuando los catetos son iguales, es decir, cuando \( a = b \).

Si \( a = b \), entonces:

\[
25 = a^2 + a^2 = 2a^2
\]
\[
a^2 = \frac{25}{2} \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}
\]

Entonces, el área máxima \( A_{\text{max}} \) es:

\[
A_{\text{max}} = \frac{1}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{25 \times 2}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 \, \text{cm}^2
\]

Por lo tanto, **el área máxima posible del triángulo es 6.25 cm²**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el ángulo entre los catetos al área del triángulo?
2. ¿Qué pasa con el área máxima si la hipotenusa tiene una longitud diferente?
3. ¿Cómo podrías encontrar los catetos si el área máxima ya se conoce?
4. ¿Qué otros tipos de triángulos pueden tener un área máxima bajo condiciones específicas?
5. ¿Cómo varía el área en función de uno de los catetos manteniendo constante la hipotenusa?

**Tip:** El área de un triángulo es mayor cuando sus lados que forman el ángulo recto son iguales, dado un valor fijo para la hipotenusa.

Discover how to find the maximum possible area of a right triangle with a hypotenuse measuring 5 cm. This problem explores the application of the Pythagorean Theorem and the formula for the area of a triangle. Suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation