Uma piscina será construída em formato hexagonal, com borda feita de madeira e espessura de 50 cm, como mostra a figura abaixo. Ainda se sabe que essa piscina terá um perímetro externo de 18 metros e in- terno de 12 metros.De acordo com os dados indicados, qual é a área to- tal, em m², que será usada para fabricar essa borda de madeira?

Para resolver o problema da área da borda de madeira que será utilizada na piscina hexagonal, precisamos calcular a área da parte externa e da parte interna da piscina, e então subtrair uma da outra.

### Passos para o cálculo:

1. **Hexágono Regular:**
   Um hexágono regular pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. A fórmula da área de um hexágono regular é dada por:
   \[
   A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot L^2
   \]
   onde \( L \) é o comprimento do lado do hexágono.

2. **Perímetro:**
   Sabemos que o perímetro de um hexágono regular é dado por:
   \[
   P = 6L
   \]
   Logo, podemos encontrar o lado do hexágono externo e interno a partir dos perímetros fornecidos.

   - Perímetro externo: \( P_{\text{externo}} = 18 \) metros
     \[
     6L_{\text{externo}} = 18 \quad \Rightarrow \quad L_{\text{externo}} = 3 \text{ metros}
     \]
   - Perímetro interno: \( P_{\text{interno}} = 12 \) metros
     \[
     6L_{\text{interno}} = 12 \quad \Rightarrow \quad L_{\text{interno}} = 2 \text{ metros}
     \]

3. **Áreas:**
   Agora, podemos calcular as áreas dos hexágonos externo e interno.

   - Área do hexágono externo:
     \[
     A_{\text{externo}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot L_{\text{externo}}^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 9 = \frac{27\sqrt{3}}{2}
     \]

   - Área do hexágono interno:
     \[
     A_{\text{interno}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot L_{\text{interno}}^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}
     \]

4. **Área da borda:**
   A área da borda será a diferença entre a área do hexágono externo e a área do hexágono interno:
   \[
   A_{\text{borda}} = A_{\text{externo}} - A_{\text{interno}} = \frac{27\sqrt{3}}{2} - 6\sqrt{3}
   \]
   Colocando \(\sqrt{3}\) em evidência:
   \[
   A_{\text{borda}} = \sqrt{3} \left( \frac{27}{2} - 6 \right) = \sqrt{3} \left( \frac{27 - 12}{2} \right) = \sqrt{3} \cdot \frac{15}{2}
   \]
   Logo, a área da borda é:
   \[
   A_{\text{borda}} = \frac{15\sqrt{3}}{2} \text{ metros quadrados.}
   \]

Portanto, a área total que será usada para fabricar a borda de madeira é \( \frac{15\sqrt{3}}{2} \) metros quadrados, aproximadamente 12,99 m².

---

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

### Perguntas Relacionadas:
1. Como calcular o perímetro de outras formas geométricas regulares?
2. O que é um triângulo equilátero e como ele se relaciona com o hexágono?
3. Como encontrar a área de figuras compostas por diferentes formas?
4. O que significa o termo "em evidência" em álgebra?
5. Como o perímetro influencia na área de uma forma geométrica?

**Dica:** Para calcular áreas de formas compostas, sempre desmembre a forma em partes menores, como triângulos ou retângulos.

Uma piscina será construída em formato hexagonal, com borda feita de madeira e espessura de 50 cm, como mostra a figura abaixo. Ainda se sabe que essa piscina terá um perímetro externo de 18 metros e interno de 12 metros. De acordo com os dados indicados, qual é a área total, em m², que será usada para fabricar essa borda de madeira?

Learn how to calculate the area of the wooden border around a hexagonal pool. The pool has an external perimeter of 18 meters and an internal perimeter of 12 meters. This step-by-step solution covers geometric principles, including the area and perimeter formulas for regular hexagons. Suitable for high school students in Grades 9-12.

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