3) Reconstruye cada ecuación cuadrática a partir de las raíces 
x1 y x2. 
a) x1 = – 6  y x2 = 5 
Resolver: 
 
 
 
 
 
b) x1 = 1
 2
 y x2 = 3
 2
 
Resolver: 
  
 
 
 
 
 
4) La altura de un triángulo es 3 metros más 
que la longitud de su base. El área de dicha 
región triangular es 15 m2. Determina la 
medida de su base y su altura. (Aproxima a 
las décimas) 
Resolver: 

### 3) Reconstruir ecuaciones cuadráticas a partir de las raíces

La ecuación cuadrática con raíces \( x_1 \) y \( x_2 \) se puede construir usando la fórmula estándar:

\[
f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)
\]

Para los siguientes valores de \( x_1 \) y \( x_2 \), asumimos que \( a = 1 \).

#### a) \( x_1 = -6 \) y \( x_2 = 5 \)

Sustituyendo las raíces en la fórmula general:

\[
f(x) = (x - (-6))(x - 5) = (x + 6)(x - 5)
\]

Ahora expandimos el producto:

\[
f(x) = x^2 - 5x + 6x - 30 = x^2 + x - 30
\]

Por lo tanto, la ecuación cuadrática es:

\[
f(x) = x^2 + x - 30
\]

#### b) \( x_1 = \frac{1}{2} \) y \( x_2 = \frac{3}{2} \)

Sustituyendo las raíces en la fórmula general:

\[
f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2}\right)
\]

Para facilitar la multiplicación, utilizamos una factorización completa multiplicando por 4 para eliminar los denominadores:

\[
f(x) = \left(2x - 1\right)\left(2x - 3\right)
\]

Expandimos el producto:

\[
f(x) = (2x - 1)(2x - 3) = 4x^2 - 6x - 2x + 3 = 4x^2 - 8x + 3
\]

Por lo tanto, la ecuación cuadrática es:

\[
f(x) = 4x^2 - 8x + 3
\]

---

### 4) Determinar la base y la altura de un triángulo

Se nos da que la altura es 3 metros más que la base, y el área del triángulo es 15 m². Sabemos que el área de un triángulo es:

\[
A = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura}
\]

Llamemos \( b \) a la base del triángulo y \( h \) a la altura. Entonces, según el problema:

\[
h = b + 3
\]

Sustituyendo en la fórmula del área:

\[
15 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot (b + 3)
\]

Multiplicamos ambos lados por 2 para eliminar la fracción:

\[
30 = b(b + 3)
\]

Esto nos lleva a la siguiente ecuación cuadrática:

\[
b^2 + 3b - 30 = 0
\]

Resolvamos esta ecuación cuadrática utilizando la fórmula general:

\[
b = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-30)}}{2(1)}
\]

\[
b = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 120}}{2}
\]

\[
b = \frac{-3 \pm \sqrt{129}}{2}
\]

Aproximando \( \sqrt{129} \):

\[
b = \frac{-3 \pm 11.36}{2}
\]

Tomamos la solución positiva:

\[
b = \frac{-3 + 11.36}{2} = \frac{8.36}{2} = 4.18
\]

Por lo tanto, la base es aproximadamente:

\[
b = 4.2 \, \text{m}
\]

Ahora calculamos la altura:

\[
h = b + 3 = 4.2 + 3 = 7.2 \, \text{m}
\]

Por lo tanto, la base es \( 4.2 \) metros y la altura es \( 7.2 \) metros.

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deducen las ecuaciones cuadráticas a partir de sus raíces?
2. ¿Por qué se toma la solución positiva en problemas de geometría?
3. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática con raíces fraccionarias?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver una ecuación cuadrática?
5. ¿Cómo afecta la fórmula del área a problemas de geometría aplicada?

### Tip: Siempre que trabajes con triángulos, verifica que los valores de la base y la altura sean coherentes con las unidades del área.

3) Reconstruye cada ecuación cuadrática a partir de las raíces x1 y x2.
 a) x1 = -6 y x2 = 5. Resolver:

b) x1 = 1/2 y x2 = 3/2. Resolver:

4) La altura de un triángulo es 3 metros más que la longitud de su base. El área de dicha región triangular es 15 m2. Determina la medida de su base y su altura. (Aproxima a las décimas).

Learn how to solve quadratic equations and a triangle's base and height. This includes reconstructing quadratic equations from roots, applying the quadratic formula, and solving geometry problems involving area. Suitable for students in Grades 9-10.

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