Gegeben sind die Gleichungen y=((4)/(3)) x-((8)/(3)) und y=-0.5 x+4.5 zweier Geraden. Berechne den Flächeninhalt der Fläche zwischen den beiden Geraden und der x-Achse.

Um den Flächeninhalt zwischen den beiden Geraden und der x-Achse zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:

1. **Gleichungen der Geraden**:
   Die beiden gegebenen Geraden sind:
   - \( y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \)
   - \( y = -0.5x + 4.5 \)

2. **Schnittpunkte mit der x-Achse**:
   Zuerst bestimmen wir die Schnittpunkte der beiden Geraden mit der x-Achse. Dafür setzen wir \( y = 0 \) in beide Gleichungen ein.

   Für die erste Gerade:
   \[
   0 = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}
   \]
   Multiplizieren wir die Gleichung mit 3, um die Brüche loszuwerden:
   \[
   0 = 4x - 8 \quad \Rightarrow \quad 4x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 2
   \]
   Der Schnittpunkt der ersten Geraden mit der x-Achse ist \( (2, 0) \).

   Für die zweite Gerade:
   \[
   0 = -0.5x + 4.5
   \]
   Multiplizieren wir die Gleichung mit 2, um den Bruch zu eliminieren:
   \[
   0 = -x + 9 \quad \Rightarrow \quad x = 9
   \]
   Der Schnittpunkt der zweiten Geraden mit der x-Achse ist \( (9, 0) \).

3. **Schnittpunkt der beiden Geraden**:
   Nun bestimmen wir den Schnittpunkt der beiden Geraden, indem wir die beiden Gleichungen gleichsetzen:
   \[
   \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} = -0.5x + 4.5
   \]
   Multiplizieren wir die gesamte Gleichung mit 6, um die Brüche zu beseitigen:
   \[
   8x - 16 = -3x + 27
   \]
   Addieren wir \( 3x \) auf beiden Seiten:
   \[
   11x - 16 = 27
   \]
   Addieren wir 16 auf beiden Seiten:
   \[
   11x = 43 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{43}{11} \approx 3.91
   \]
   Setzen wir diesen Wert in eine der beiden Gleichungen ein, z.B. in \( y = -0.5x + 4.5 \):
   \[
   y = -0.5 \times \frac{43}{11} + 4.5 = -\frac{43}{22} + 4.5 = \frac{-43 + 99}{22} = \frac{56}{22} = \frac{28}{11} \approx 2.55
   \]
   Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt also bei \( \left( \frac{43}{11}, \frac{28}{11} \right) \).

4. **Flächeninhalt berechnen**:
   Nun berechnen wir den Flächeninhalt zwischen den beiden Geraden und der x-Achse. Dies können wir tun, indem wir das Integral über den Bereich von \( x = 2 \) bis \( x = 9 \) bilden und die Differenz der beiden Funktionen berechnen:
   \[
   A = \int_2^9 \left( \left( -0.5x + 4.5 \right) - \left( \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} \right) \right) dx
   \]
   Dies vereinfacht sich zu:
   \[
   A = \int_2^9 \left( -0.5x + 4.5 - \frac{4}{3}x + \frac{8}{3} \right) dx = \int_2^9 \left( -\frac{11}{6}x + \frac{35}{6} \right) dx
   \]
   Berechnen wir das Integral:
   \[
   A = \left[ -\frac{11}{12}x^2 + \frac{35}{6}x \right]_2^9
   \]
   Setzen wir die Grenzen ein:
   \[
   A = \left( -\frac{11}{12}(9^2) + \frac{35}{6}(9) \right) - \left( -\frac{11}{12}(2^2) + \frac{35}{6}(2) \right)
   \]
   Berechnen wir die einzelnen Terme:
   \[
   A = \left( -\frac{11}{12} \times 81 + \frac{35}{6} \times 9 \right) - \left( -\frac{11}{12} \times 4 + \frac{35}{6} \times 2 \right)
   \]
   \[
   A = \left( -\frac{891}{12} + \frac{315}{6} \right) - \left( -\frac{44}{12} + \frac{70}{6} \right)
   \]
   \[
   A = \left( -74.25 + 52.5 \right) - \left( -3.67 + 11.67 \right)
   \]
   \[
   A = (-21.75) - (8) = -21.75 + 8 = -13.75
   \]
   Da der Flächeninhalt immer positiv ist, beträgt der Flächeninhalt \( A = 13.75 \) Einheiten.

Der Flächeninhalt zwischen den beiden Geraden und der x-Achse beträgt also **13.75 Einheiten**.

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Möchtest du zusätzliche Erklärungen zu den Berechnungen? Hier sind 5 verwandte Fragen:

1. Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier Geraden?
2. Was ist der Unterschied zwischen bestimmten und unbestimmten Integralen?
3. Wie funktioniert die Flächenberechnung unter Kurven?
4. Wie kann man Integrale graphisch interpretieren?
5. Was bedeutet es, wenn der Wert eines Integrals negativ ist?

**Tipp:** Beim Berechnen von Schnittpunkten kann es hilfreich sein, alle Terme auf eine Seite zu bringen und Gleichungen zu vereinfachen, bevor man sie löst.

Lerne, wie man den Flächeninhalt zwischen den Geraden y = (4/3)x - (8/3) und y = -0.5x + 4.5 sowie der x-Achse berechnet. Diese Aufgabe behandelt Konzepte der Algebra, analytischen Geometrie und Integration. Geeignet für Schüler der Klassenstufen 10-12.

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