1) Una fábrica ofrece a sus clientes una agenda. La función que define el costo de x agendas está dada 
por la expresión C (X) = 700X -0.03x2. Si la fábrica vende durante el mes de mayo 3000 agendas a 
$2000 cada una. Determine: 
a) La utilidad que obtiene la empresa por las ventas del mes de mayo. 
b) Si se venden 100 agendas más ¿Cuál es costo marginal de la producción? 

### Solución

**Dado:**

- La función de costo $ C(x) $ para producir $ x $ agendas está dada por:
  \[
  C(x) = 700x - 0.03x^2
  \]
- La empresa vende 3000 agendas a $2000 cada una.

**Objetivo:**
1. Determinar la utilidad obtenida por las ventas en el mes de mayo.
2. Calcular el costo marginal si se venden 100 agendas más.

---

### a) **Utilidad obtenida por las ventas en el mes de mayo**

**Ingreso total (I):**

El ingreso total por la venta de 3000 agendas es:
\[
I = 3000 \times 2000 = 6,000,000 \text{ (pesos)}
\]

**Costo total (C) para $ x = 3000 $:**

Sustituyendo $ x = 3000 $ en la función de costo:
\[
C(3000) = 700(3000) - 0.03(3000)^2
\]
\[
C(3000) = 2,100,000 - 0.03(9,000,000)
\]
\[
C(3000) = 2,100,000 - 270,000 = 1,830,000 \text{ (pesos)}
\]

**Utilidad (U):**

La utilidad se obtiene restando el costo total del ingreso total:
\[
U = I - C(3000)
\]
\[
U = 6,000,000 - 1,830,000 = 4,170,000 \text{ (pesos)}
\]

Por lo tanto, la utilidad obtenida por la empresa en el mes de mayo es **$4,170,000**.

---

### b) **Costo marginal de la producción al vender 100 agendas más**

**Costo marginal (CM):**

El costo marginal se calcula derivando la función de costo $ C(x) $ respecto a $ x $, y luego evaluando en $ x = 3000 $:

Primero, derivamos $ C(x) $:
\[
C'(x) = \frac{d}{dx} \left( 700x - 0.03x^2 \right)
\]
\[
C'(x) = 700 - 0.06x
\]

Luego, evaluamos en $ x = 3000 $:
\[
C'(3000) = 700 - 0.06(3000)
\]
\[
C'(3000) = 700 - 180 = 520 \text{ (pesos por agenda)}
\]

Por lo tanto, el costo marginal de producir una agenda adicional es **$520**. Si se producen y venden 100 agendas más, el costo total adicional será:
\[
520 \times 100 = 52,000 \text{ (pesos)}
\]

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### Resumen:

a) La utilidad obtenida por la empresa en mayo es **$4,170,000**.

b) El costo marginal de producir 100 agendas más es **$52,000**.

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¿Te gustaría que explique más detalles sobre algún punto en específico o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el costo marginal a la toma de decisiones de producción en la fábrica?
2. ¿Qué interpretación económica tiene la derivada de la función de costo en este contexto?
3. ¿Qué sucedería con la utilidad si el precio por agenda se reduce en un 10%?
4. ¿Cómo cambia el costo total si se incrementa la producción en un 10%?
5. ¿Qué otros factores podrían influir en la utilidad de la empresa?

### Tip:
Cuando calculas la utilidad, recuerda que es esencial considerar tanto los ingresos como los costos para obtener una visión completa del rendimiento financiero.

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