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Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el valor indicado de X. 


Para evaluar la existencia del límite de la función \( g(x) \) en \( x = 3 \), es necesario calcular los límites laterales y compararlos. La función está definida por partes:

\[
g(x) = 
\begin{cases} 
2x^2 - x & \text{si } x < 3, \\
3 - x & \text{si } x \geq 3.
\end{cases}
\]

### 1. Cálculo del límite cuando \( x \) se aproxima a 3 por la izquierda (\( x \to 3^- \)):
Aquí utilizamos la primera parte de la función, ya que \( x < 3 \).

\[
\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x^2 - x)
\]

Sustituyendo \( x = 3 \):

\[
\lim_{x \to 3^-} (2x^2 - x) = 2(3)^2 - 3 = 18 - 3 = 15
\]

### 2. Cálculo del límite cuando \( x \) se aproxima a 3 por la derecha (\( x \to 3^+ \)):
Aquí utilizamos la segunda parte de la función, ya que \( x \geq 3 \).

\[
\lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3^+} (3 - x)
\]

Sustituyendo \( x = 3 \):

\[
\lim_{x \to 3^+} (3 - x) = 3 - 3 = 0
\]

### 3. Comparación de los límites laterales:
Para que el límite de \( g(x) \) en \( x = 3 \) exista, los límites laterales deben ser iguales:

\[
\lim_{x \to 3^-} g(x) \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 3^+} g(x)
\]

Comparando los resultados obtenidos:

\[
\lim_{x \to 3^-} g(x) = 15 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 3^+} g(x) = 0
\]

Dado que \( 15 \neq 0 \), el límite de \( g(x) \) cuando \( x = 3 \) **no existe**.

---

¿Te gustaría una explicación más detallada o tienes alguna otra pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se define una función continua?
2. ¿Qué condiciones son necesarias para que un límite exista en un punto dado?
3. ¿Cómo se pueden encontrar límites laterales para funciones más complejas?
4. ¿Cuál es la importancia de la continuidad en análisis matemático?
5. ¿Cómo afecta la discontinuidad de una función a su gráfica?

**Tip:** Cuando trabajes con funciones definidas por partes, siempre es importante considerar los límites laterales en los puntos donde la función cambia de definición.

Learn how to evaluate the existence of the limit of the piecewise function g(x) at x = 3 using left-hand and right-hand limits. This problem involves understanding piecewise functions and their behavior around points of discontinuity. Suitable for high school students.

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