	R={(x,y);x∧y∈R;3x^2 y^2-9x^2-9y^2=0}
cual es el dominio y el rango 

Para determinar el **dominio** y el **rango** del conjunto \( R \) definido por la ecuación:

\[
R = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid 3x^2 y^2 - 9x^2 - 9y^2 = 0\},
\]

primero simplificamos la ecuación, como hicimos anteriormente:

\[
3x^2 y^2 - 9x^2 - 9y^2 = 0
\]

Dividimos toda la ecuación por 3:

\[
x^2 y^2 - 3x^2 - 3y^2 = 0
\]

Luego, reorganizamos:

\[
x^2(y^2 - 3) = 3y^2
\]

Esta ecuación define una relación entre \( x \) y \( y \). Ahora, para hallar el dominio y el rango, consideraremos los casos clave.

### Dominio

El **dominio** es el conjunto de todos los valores posibles de \( x \) para los cuales existe un valor de \( y \) que satisface la ecuación.

Observamos que para \( x = 0 \):

\[
-9y^2 = 0 \implies y = 0
\]

Así que \( (0, 0) \) es un punto válido. Para \( x \neq 0 \), tenemos:

\[
y^2 - 3 = \frac{3y^2}{x^2} \implies x^2 = \frac{3y^2}{y^2 - 3}
\]

Para que esto sea válido, \( y^2 \) debe ser mayor que 3, lo que implica \( y \) no puede ser cualquier valor. Específicamente, \( y > \sqrt{3} \) o \( y < -\sqrt{3} \).

Por lo tanto, el **dominio** del conjunto \( R \) es:

\[
D = \mathbb{R} \text{ (es decir, } x \in \mathbb{R} \text{)}
\]

### Rango

El **rango** es el conjunto de todos los valores posibles de \( y \) para los cuales existe un valor de \( x \) que satisface la ecuación.

De la ecuación \( y^2 \geq 3 \), deducimos que:

\[
y \geq \sqrt{3} \quad \text{o} \quad y \leq -\sqrt{3}
\]

Por lo tanto, el **rango** del conjunto \( R \) es:

\[
R = (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)
\]

### Resumen

- **Dominio**: \( \mathbb{R} \), es decir, todos los números reales.
- **Rango**: \( (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty) \).

---

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relativas:**
1. ¿Cómo se podría graficar el conjunto \( R \) en el plano \( xy \)?
2. ¿Cómo se comporta la función si se toma en cuenta solo una parte del dominio?
3. ¿Qué sucede con el rango si se considera \( y^2 < 3 \)?
4. ¿Cómo influyen las raíces cuadradas en el dominio y rango de otras ecuaciones cuadráticas?
5. ¿Qué interpretación geométrica se puede dar a los límites del rango?

**Tip:** Para analizar el dominio y rango de una ecuación, es útil despejar una variable en función de la otra y examinar las restricciones impuestas por la ecuación.

Aprende cómo determinar el dominio y el rango de la ecuación cuadrática 3x^2 y^2 - 9x^2 - 9y^2 = 0 con una explicación detallada paso a paso. Este problema cubre conceptos clave de ecuaciones cuadráticas, incluida la fórmula de la ecuación cuadrática. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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