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Aplica metodo de Horner y determina el residuo

Para aplicar el método de Horner y determinar el residuo, primero debemos reorganizar el polinomio dado y ordenarlo en términos decrecientes de la potencia de \(x\). El polinomio en el numerador es:

\[
-3x^4 + 2x^3 + 10x^2 - 5
\]

Ahora, lo que haremos es dividir este polinomio entre el polinomio en el denominador utilizando el método de Horner. Primero, necesitamos aplicar Horner sobre el numerador.

### 1. Método de Horner

Para aplicar el método de Horner, seleccionamos \(x^2\) (del denominador) y realizamos la división de cada término.

Dividimos el polinomio:

\[
-3x^4 + 2x^3 + 10x^2 - 5
\]

entre:

\[
x^2 + 2
\]

#### Paso 1: Dividimos el primer término del numerador por el primer término del denominador:

\[
\frac{-3x^4}{x^2} = -3x^2
\]

#### Paso 2: Multiplicamos todo el denominador por \(-3x^2\) y lo restamos del numerador:

\[
(-3x^2)(x^2 + 2) = -3x^4 - 6x^2
\]

Restando de \( -3x^4 + 2x^3 + 10x^2 - 5\):

\[
-3x^4 + 2x^3 + 10x^2 - 5 - (-3x^4 - 6x^2) = 2x^3 + 16x^2 - 5
\]

#### Paso 3: Ahora, repetimos el proceso con el siguiente término:

Dividimos:

\[
\frac{2x^3}{x^2} = 2x
\]

Multiplicamos y restamos:

\[
(2x)(x^2 + 2) = 2x^3 + 4x
\]

Restando:

\[
2x^3 + 16x^2 - 5 - (2x^3 + 4x) = 16x^2 - 4x - 5
\]

#### Paso 4: Repetimos con el siguiente término:

Dividimos:

\[
\frac{16x^2}{x^2} = 16
\]

Multiplicamos y restamos:

\[
(16)(x^2 + 2) = 16x^2 + 32
\]

Restando:

\[
16x^2 - 4x - 5 - (16x^2 + 32) = -4x - 37
\]

El residuo es:

\[
-4x - 37
\]

### Resultado final
El residuo al dividir el polinomio \( -3x^4 + 2x^3 + 10x^2 - 5 \) por \( x^2 + 2 \) utilizando el método de Horner es:

\[
-4x - 37
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza el método de Horner en divisiones de polinomios?
2. ¿Cómo se determina el grado de un polinomio?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el residuo y el cociente en una división de polinomios?
4. ¿Cómo afecta el denominador al proceso de división de polinomios?
5. ¿Qué aplicaciones tiene el método de Horner en la factorización de polinomios?

**Tip:** El método de Horner no solo se utiliza para dividir polinomios, sino también para evaluar polinomios en puntos específicos de manera eficiente.

Learn how to apply Horner's method to determine the residue of a polynomial division problem. This detailed solution involves reorganizing the polynomial, applying Horner's method step-by-step, and determining the residue. Suitable for advanced high school students.

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