Encuentre los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola.
x2 − 
y2
48
 = 1
vértices    	(x, y) =	

 
  

 (valor x menor)
(x, y) =	

 
  

 (valor x mayor)
focos	(x, y) =	

 
  

 (valor x menor)
(x, y) =	

 
  

 (valor x mayor)
asíntotas    	
 
 (pendiente menor)
 
 (pendiente mayor)


Para encontrar los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola dada, comencemos con la ecuación estándar de la hipérbola.

La ecuación dada es:
\[ x^2 - \frac{y^2}{48} = 1 \]

### Identificación de parámetros:
Comparando con la forma estándar de una hipérbola horizontal:
\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

Podemos identificar los valores de \( a^2 \) y \( b^2 \):
\[ a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \]
\[ b^2 = 48 \Rightarrow b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \]

### Vértices:
Los vértices de la hipérbola se encuentran a una distancia \( a \) del centro (0,0) en el eje x.

Vértices:
\[ (x, y) = (-1, 0) \]
\[ (x, y) = (1, 0) \]

### Focos:
La distancia de los focos desde el centro está dada por:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
\[ c^2 = 1 + 48 = 49 \Rightarrow c = \sqrt{49} = 7 \]

Focos:
\[ (x, y) = (-7, 0) \]
\[ (x, y) = (7, 0) \]

### Asíntotas:
Las ecuaciones de las asíntotas para una hipérbola horizontal son de la forma:
\[ y = \pm \frac{b}{a} x \]

Dado que \( a = 1 \) y \( b = 4\sqrt{3} \):
\[ y = \pm 4\sqrt{3} x \]

### Resumen:
- Vértices:
  - (x, y) = (-1, 0)
  - (x, y) = (1, 0)

- Focos:
  - (x, y) = (-7, 0)
  - (x, y) = (7, 0)

- Asíntotas:
  - \( y = 4\sqrt{3} x \)
  - \( y = -4\sqrt{3} x \)

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

Puedes preguntar sobre los siguientes temas:
1. ¿Cómo se derivan las ecuaciones de las asíntotas para hipérbolas?
2. ¿Qué representa cada parámetro en la ecuación de una hipérbola?
3. ¿Cómo se grafica una hipérbola en el plano cartesiano?
4. ¿Cuáles son las diferencias entre una hipérbola horizontal y una vertical?
5. ¿Cómo encontrar el centro de una hipérbola desplazada? 

**Tip:** Para verificar la exactitud de tus cálculos de los parámetros de una hipérbola, siempre revisa la relación entre \( a \), \( b \), y \( c \) usando \( c^2 = a^2 + b^2 \).

Aprende cómo encontrar los vértices, los focos y las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola dada con una explicación detallada paso a paso. Este problema cubre conceptos clave de las hipérbolas, incluyendo las ecuaciones estándar y las características geométricas como vértices, focos y asíntotas. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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