Un monto de dinero es invertido al R% compuesto anualmente. Si asciende a $21,632 al final del 
segundo año y a $22,497.28 al final del tercer año. Encuentre la tasa de interés R y la suma invertida.

Para resolver este problema, usaremos la fórmula del **interés compuesto**. La fórmula general para el monto acumulado $ A $ después de $ t $ años es:

\[
A = P \times (1 + r)^t
\]

Donde:
- $ A $ es el monto acumulado después de $ t $ años.
- $ P $ es el capital inicial o suma invertida.
- $ r $ es la tasa de interés anual en forma decimal.
- $ t $ es el número de años.

Dado que se proporcionan los montos después del segundo y tercer año, podemos establecer dos ecuaciones para resolver el problema:

\[
21,632 = P \times (1 + r)^2 \quad \text{(1)}
\]
\[
22,497.28 = P \times (1 + r)^3 \quad \text{(2)}
\]

### Paso 1: Hallar la tasa de interés $ r $
Dividimos la ecuación (2) por la ecuación (1) para eliminar $ P $ y simplificar la resolución para $ r $:

\[
\frac{22,497.28}{21,632} = \frac{P \times (1 + r)^3}{P \times (1 + r)^2}
\]

Esto se simplifica a:

\[
\frac{22,497.28}{21,632} = (1 + r)
\]

Calculamos el valor de $ r $:

\[
1 + r = \frac{22,497.28}{21,632} \approx 1.04
\]
\[
r \approx 1.04 - 1 = 0.04
\]

Entonces, la tasa de interés anual $ r $ es **4%** o **0.04**.

### Paso 2: Hallar el capital inicial $ P $
Ahora que conocemos $ r $, podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones originales para encontrar $ P $. Usaremos la ecuación (1):

\[
21,632 = P \times (1 + 0.04)^2
\]
\[
21,632 = P \times (1.04)^2
\]
\[
21,632 = P \times 1.0816
\]
\[
P = \frac{21,632}{1.0816} \approx 20,000
\]

Entonces, el capital inicial $ P $ es **$20,000**.

### Resumen de Resultados
- La tasa de interés anual $ r $ es **4%**.
- La suma invertida inicialmente es **$20,000**.

---

¿Quieres detalles adicionales sobre alguno de estos puntos o tienes alguna pregunta?

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4. ¿Cómo se determinaría el valor futuro si la tasa de interés es variable cada año?
5. ¿Qué efectos tendría una inflación anual del 2% sobre el valor real de la inversión?

### Tip:
Cuando trabajes con interés compuesto, asegúrate de que el período de capitalización coincida con la unidad de tiempo usada para la tasa de interés. Esto es crucial para obtener cálculos precisos.

Learn how to calculate compound interest using given amounts of $21,632 after 2 years and $22,497.28 after 3 years. Discover the formula and step-by-step solution for finding the interest rate and initial investment.

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