dame 2 ejercicios resueltos paso a paso de Funciones y gráficos de grado 10

Aquí te presento dos ejercicios resueltos paso a paso sobre funciones y gráficos, adecuados para un nivel de grado 10:

### Ejercicio 1: Graficar la función cuadrática
**Función dada:** \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

**Paso 1: Determinar el tipo de función**
Esta es una función cuadrática, que tiene la forma general \( f(x) = ax^2 + bx + c \). En este caso, \( a = 1 \), \( b = -4 \), y \( c = 3 \).

**Paso 2: Encontrar el vértice**
El vértice de una parábola \( y = ax^2 + bx + c \) se encuentra en el punto \( (h, k) \), donde:
\[ h = \frac{-b}{2a} \]
\[ k = f(h) \]

Calculamos \( h \):
\[ h = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ahora, sustituimos \( h \) en la función para encontrar \( k \):
\[ k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \]

Entonces, el vértice es \( (2, -1) \).

**Paso 3: Calcular los puntos de corte con los ejes**
- **Eje y**: Para encontrar el punto de corte con el eje y, evaluamos la función en \( x = 0 \).
  \[ f(0) = 0^2 - 4(0) + 3 = 3 \]
  El punto de corte es \( (0, 3) \).
  
- **Eje x**: Para encontrar los puntos de corte con el eje x, resolvemos la ecuación \( f(x) = 0 \).
  \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
  Factorizamos:
  \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
  Por lo tanto, los puntos de corte son \( x = 1 \) y \( x = 3 \), con puntos \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).

**Paso 4: Graficar la función**
- El vértice es \( (2, -1) \).
- Los puntos de corte con el eje x son \( (1, 0) \) y \( (3, 0) \).
- El punto de corte con el eje y es \( (0, 3) \).
  
Con estos puntos, podemos trazar la parábola.

### Ejercicio 2: Analizar y graficar la función lineal
**Función dada:** \( g(x) = -2x + 5 \)

**Paso 1: Determinar el tipo de función**
Esta es una función lineal, de la forma general \( g(x) = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente y \( b \) es la intersección con el eje y. En este caso, \( m = -2 \) y \( b = 5 \).

**Paso 2: Encontrar el punto de intersección con el eje y**
El punto de intersección con el eje y se obtiene cuando \( x = 0 \):
\[ g(0) = -2(0) + 5 = 5 \]
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje y es \( (0, 5) \).

**Paso 3: Encontrar el punto de intersección con el eje x**
El punto de intersección con el eje x se obtiene cuando \( g(x) = 0 \):
\[ 0 = -2x + 5 \]
\[ 2x = 5 \]
\[ x = \frac{5}{2} = 2.5 \]
Por lo tanto, el punto de intersección con el eje x es \( (2.5, 0) \).

**Paso 4: Graficar la función**
- El punto de intersección con el eje y es \( (0, 5) \).
- El punto de intersección con el eje x es \( (2.5, 0) \).

Con estos dos puntos, puedes trazar la línea recta.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se puede determinar la concavidad de una parábola?
2. ¿Qué ocurre con la gráfica de una función cuadrática si el valor de \( a \) es negativo?
3. ¿Cómo encontrar el dominio y el rango de una función cuadrática?
4. ¿Qué representa la pendiente en una función lineal?
5. ¿Cómo afecta el valor de \( b \) en la gráfica de una función lineal?

**Tip:** Al analizar la gráfica de una función, siempre es útil identificar el vértice, las intersecciones con los ejes y el comportamiento de la función (creciente o decreciente).

Descubre dos ejercicios resueltos paso a paso sobre funciones y gráficos, perfectos para estudiantes de grado 10. Incluye una explicación detallada sobre cómo graficar funciones cuadráticas y lineales, con ejemplos prácticos.

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