Existe um único par de números reais \small a e \small b que torna o sistema linear

 \small \left\{\begin{array}{c c}
0x-7y=a\\
x+y=b\\
5x+7y=5a+2b\\
x+2y=a+b-1
\end{array}
\right.
 

Possível e determinado. Escreva o valor de \small b no campo abaixo.

Observação: Caso a resposta não seja um número inteiro, utilize um arredondamento com 3 casas decimais

Para determinar o valor de \( b \), precisamos resolver o sistema linear dado. O sistema é:

\[
\left\{
\begin{array}{c c}
0x - 7y = a & \quad (1) \\
x + y = b & \quad (2) \\
5x + 7y = 5a + 2b & \quad (3) \\
x + 2y = a + b - 1 & \quad (4)
\end{array}
\right.
\]

**Passo 1: Análise da primeira equação**

A primeira equação é \( 0x - 7y = a \), o que implica que \( a = -7y \).

**Passo 2: Substituindo \( a = -7y \) nas outras equações**

Substituímos \( a = -7y \) nas equações (2), (3) e (4):

2. \( x + y = b \)
3. \( 5x + 7y = 5(-7y) + 2b \)
4. \( x + 2y = -7y + b - 1 \)

Vamos simplificar as equações (3) e (4):

- A equação (3) se torna:
\[
5x + 7y = -35y + 2b
\]
\[
5x + 42y = 2b \quad \text{(Multiplicando ambos os lados por -1:)} 
\]
\[
5x + 42y = 2b \quad (3')
\]

- A equação (4) se torna:
\[
x + 2y = -7y + b - 1
\]
\[
x + 9y = b - 1 \quad (4')
\]

**Passo 3: Substituindo a equação (2) nas novas equações**

Da equação (2), sabemos que \( x = b - y \).

Substituindo \( x = b - y \) em (3') e (4'):

- Em (3'):
\[
5(b - y) + 42y = 2b
\]
\[
5b - 5y + 42y = 2b
\]
\[
5b + 37y = 2b
\]
\[
3b = -37y \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3b}{37}
\]

- Em (4'):
\[
(b - y) + 9y = b - 1
\]
\[
b + 8y = b - 1
\]
\[
8y = -1 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{8}
\]

**Passo 4: Comparando os valores de \( y \)**

Temos dois valores de \( y \) a partir das equações diferentes:

\[
-\frac{3b}{37} = -\frac{1}{8}
\]

Multiplicando ambos os lados por -1 e resolvendo para \( b \):

\[
\frac{3b}{37} = \frac{1}{8}
\]
\[
3b = \frac{37}{8}
\]
\[
b = \frac{37}{24} \approx 1,542
\]

**Resposta final**: O valor de \( b \) é aproximadamente \( \boxed{1,542} \).

Gostaria de mais detalhes ou alguma dúvida? 

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. Como encontrar os valores de \( x \) e \( a \) após determinar \( b \)?
2. Qual o significado de um sistema linear ser "possível e determinado"?
3. Como verificar se os valores de \( a \), \( b \), \( x \), e \( y \) satisfazem todas as equações?
4. Como abordar um sistema linear com mais de duas equações?
5. Quais métodos numéricos podem ser usados para resolver sistemas lineares?

**Dica**: Verifique sempre suas substituições ao resolver sistemas, especialmente quando envolve múltiplas equações, para evitar erros de cálculo.

Explore the solution process for a linear system involving parameters a and b. Learn how to determine the value of b using substitution and equation manipulation. Suitable for high school students studying linear equations and systems of equations.

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