	Calcular el dominio y rango de la función: f (x,y)=ln(9-x^2-9y^2 )

Para encontrar el dominio y el rango de la función \( f(x, y) = \ln(9 - x^2 - 9y^2) \), debemos considerar las restricciones que impone el logaritmo natural.

### Dominio:
La función \( \ln(z) \) está definida únicamente para \( z > 0 \). Por lo tanto, necesitamos que el argumento del logaritmo, \( 9 - x^2 - 9y^2 \), sea mayor que cero:

\[
9 - x^2 - 9y^2 > 0
\]

Reorganizando la desigualdad:

\[
x^2 + 9y^2 < 9
\]

Dividimos ambos lados de la desigualdad por 9 para obtener una expresión más manejable:

\[
\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} < 1
\]

Esta es la ecuación de una elipse en el plano \( xy \) con semiejes de longitud 3 en el eje \( x \) y 1 en el eje \( y \). Por lo tanto, el dominio de la función son todos los puntos \( (x, y) \) dentro de esta elipse, excluyendo el borde de la elipse, ya que en el borde la función tomaría el valor \( \ln(0) \), que no está definida.

**Dominio:**

\[
D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{1} < 1\}
\]

### Rango:
Para encontrar el rango, analizamos los posibles valores que puede tomar la función \( f(x, y) \). Como el argumento del logaritmo \( 9 - x^2 - 9y^2 \) varía entre 0 (en el borde de la elipse, pero no incluido) y 9 (en el centro de la elipse cuando \( x = 0 \) y \( y = 0 \)), los valores posibles de \( \ln(9 - x^2 - 9y^2) \) estarán entre \( \ln(9) \) y \( -\infty \) (a medida que nos acercamos al borde de la elipse).

**Rango:**

\[
R = (-\infty, \ln(9))
\]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

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### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el dominio si se cambia la constante 9 en la función original?
2. ¿Cómo se vería el dominio si en vez de \( \ln(9 - x^2 - 9y^2) \) fuera \( \ln(x^2 + 9y^2 - 9) \)?
3. ¿Cuál sería el rango si se tomara la función \( e^{f(x, y)} \) en lugar de \( f(x, y) \)?
4. ¿Cómo se determinaría el dominio si la función incluyera una raíz cuadrada en lugar de un logaritmo?
5. ¿Qué ocurre con el rango si en lugar de un logaritmo, la función incluyera una función exponencial?

### Consejo:
Para funciones con logaritmos naturales, siempre revisa que el argumento sea estrictamente positivo, ya que el logaritmo no está definido para valores no positivos.

Aprende a calcular el dominio y el rango de la función ln(9 - x^2 - 9y^2) con una solución detallada paso a paso. Este problema abarca conceptos matemáticos clave como los logaritmos naturales, las desigualdades y las secciones cónicas. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada.

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