Carolina está fabricando una tarjeta de forma rectangular de 240 cm2 y quiere colocarle una cinta de 64 centímetros en el borde para decorarla. Calcule las dimensiones de la tarjeta

Para resolver este problema, necesitamos encontrar las dimensiones del rectángulo, es decir, el largo \(L\) y el ancho \(A\), que satisfacen dos condiciones:

1. **Área del rectángulo:**  
   \( L \times A = 240 \, \text{cm}^2 \)

2. **Perímetro del rectángulo (la cinta):**  
   \( 2L + 2A = 64 \, \text{cm} \)

### Paso 1: Expresar una variable en función de la otra
Primero, vamos a despejar una de las variables del perímetro. Por ejemplo, despejemos \(L\):

\[
2L + 2A = 64 \implies L + A = 32 \implies L = 32 - A
\]

### Paso 2: Sustituir en la ecuación del área
Sustituyendo \(L = 32 - A\) en la ecuación del área:

\[
(32 - A) \times A = 240
\]

Esto nos lleva a una ecuación cuadrática:

\[
32A - A^2 = 240 \implies A^2 - 32A + 240 = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática
Ahora, resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula general:

\[
A = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde \(a = 1\), \(b = -32\), y \(c = 240\). Sustituyendo los valores:

\[
A = \frac{32 \pm \sqrt{(-32)^2 - 4(1)(240)}}{2(1)} = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 960}}{2} = \frac{32 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{32 \pm 8}{2}
\]

\[
A_1 = \frac{32 + 8}{2} = 20 \quad \text{y} \quad A_2 = \frac{32 - 8}{2} = 12
\]

### Paso 4: Encontrar \(L\) para cada caso
Para \(A_1 = 20\):

\[
L = 32 - 20 = 12
\]

Para \(A_2 = 12\):

\[
L = 32 - 12 = 20
\]

### Conclusión
Las dimensiones de la tarjeta pueden ser \(20 \, \text{cm} \times 12 \, \text{cm}\) o \(12 \, \text{cm} \times 20 \, \text{cm}\).

¿Te gustaría obtener más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática usando la fórmula general?
2. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones cuadráticas?
3. ¿Cómo cambiarían las dimensiones si el área fuera diferente?
4. ¿Cómo se calcula el perímetro de otras figuras geométricas?
5. ¿Qué pasaría si la longitud de la cinta fuera mayor o menor?

**Tip:** Al resolver problemas geométricos, identificar la relación entre las variables usando fórmulas básicas, como el área y el perímetro, es clave para encontrar la solución.

Calcula las dimensiones de una tarjeta rectangular con un área de 240 cm² y una cinta de 64 cm en el borde. Encuentra las dimensiones adecuadas del rectángulo que satisfacen las condiciones dadas. Aprende cómo resolver problemas de geometría y ecuaciones cuadráticas con este ejemplo práctico. Adecuado para estudiantes en los grados 7-9.

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