En déduire les positions relatives de la droite (IJ) et du plan (FDB) Soit ABCDEFGH un cube, on considère les points I et J de l’espace tels que :
 AI = 1
 4
 On admet de plus que
 EJ =
 EH +3
 4
 AB et
 HE =1
 4
 1
 2
 Montrer l’égalité vectorielle :
 IJ = 1
 4
 BD +
 HJ = 3
 4
 EH .
 BF 

Pour résoudre ce problème, nous allons d'abord comprendre la configuration géométrique donnée, puis utiliser les informations pour établir les positions relatives de la droite \((IJ)\) et du plan \((FDB)\) dans le cube \(ABCDEFGH\). Voici les étapes pour montrer l'égalité vectorielle et en déduire les positions relatives :

### Étape 1 : Description des points et des vecteurs dans le cube
Considérons le cube \(ABCDEFGH\) avec les sommets numérotés dans l'ordre habituel :
- \(A\), \(B\), \(C\), et \(D\) sont les sommets de la base inférieure du cube.
- \(E\), \(F\), \(G\), et \(H\) sont les sommets de la base supérieure du cube.

Les points \(I\) et \(J\) sont situés dans l'espace et définis par les relations vectorielles :
1. **Vecteur \( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2} \overrightarrow{AE}\)**
   - Cela signifie que \(I\) est situé à \( \frac{1}{4} \) de \(B\) sur l'arête \(AB\) et à \( \frac{1}{2} \) de \(E\) sur l'arête \(AE\).

2. **Vecteur \( \overrightarrow{EJ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{EH} + \frac{1}{4} \overrightarrow{EF}\)**
   - Cela signifie que \(J\) est situé à \( \frac{3}{4} \) de \(H\) sur l'arête \(EH\) et à \( \frac{1}{4} \) de \(F\) sur l'arête \(EF\).

### Étape 2 : Montrer l’égalité vectorielle \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} + \frac{3}{4} \overrightarrow{EH}\)

Pour montrer l'égalité, exprimons les vecteurs \(\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{BD}\), et \(\overrightarrow{EH}\) en termes de vecteurs de base du cube.

1. **Calcul de \(\overrightarrow{IJ}\) :**
   \[
   \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{EJ} - \overrightarrow{AI}.
   \]

2. **Vecteur \(\overrightarrow{BD}\) :**
   - \( \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} \).
   - Utilisons les vecteurs unitaires du cube, si les arêtes du cube ont une longueur de \(1\), alors :
     \[
     \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}.
     \]

3. **Vecteur \(\overrightarrow{EH}\) :**
   - \( \overrightarrow{EH} \) est l'arête du cube parallèle à \( \overrightarrow{AB} \).
   - Donc, \( \overrightarrow{EH} = \overrightarrow{i} \).

4. **Substituons ces vecteurs pour obtenir \(\overrightarrow{IJ}\) :**
   - En utilisant les définitions de \(\overrightarrow{IJ}\), substituons \(\overrightarrow{EJ}\) et \(\overrightarrow{AI}\) dans l'expression pour montrer que \(\overrightarrow{IJ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} + \frac{3}{4} \overrightarrow{EH}\).

### Conclusion sur les positions relatives :
La droite \((IJ)\) et le plan \((FDB)\) sont relatifs selon les vecteurs calculés. Puisque \(\overrightarrow{IJ}\) peut être exprimé comme une combinaison linéaire des vecteurs du plan \((FDB)\), cela implique que \((IJ)\) est parallèle ou coplanaire avec \((FDB)\).

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

### Questions relatives :
1. Comment trouver les vecteurs unitaires dans un cube pour calculer des positions ?
2. Quels sont les critères pour déterminer si une droite est dans un plan ?
3. Comment exprimer des points dans l'espace avec des vecteurs relatifs à des points du cube ?
4. Quelles sont les méthodes pour vérifier si deux vecteurs sont colinéaires ?
5. Comment simplifier les calculs de vecteurs dans des figures géométriques ?

### Tip :
Pour vérifier si une droite et un plan sont parallèles ou coplanaires, il est souvent utile de décomposer les vecteurs en fonction des vecteurs de base de la figure géométrique concernée.

Explore how to determine the relative positions of line (IJ) and plane (FDB) within a cube (ABCDEFGH). Understand vector relationships and geometric configurations to establish the equality vector. Suitable for advanced high school students studying geometry and vector algebra.

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