Soit ABCDEFGH un cube, on considère les points I et J de l’espace tels que :
 AI = 1
 4
 On admet de plus que
 EJ =
 EH +3
 4
 AB et
 HE =1
 4
 1
 2
 Montrer l’égalité vectorielle :
 IJ = 1
 4
 BD +
 HJ = 3
 4
 EH .
 BF .
 HE.
 En déduire les positions relatives de la droite (IJ) et du plan (FDB).

Pour résoudre ce problème, commençons par clarifier les conditions et travailler sur les vecteurs concernés. 

### 1. **Analyse des conditions données :**

- \( AI = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \)
- \( EJ = \frac{3}{4} \overrightarrow{EH} + \frac{1}{2} \overrightarrow{EF} \)

### 2. **Trouvons les vecteurs \( \overrightarrow{IJ} \) et \( \overrightarrow{HJ} \)** :

**Vecteur \( \overrightarrow{IJ} \) :**

On nous dit que :
\[ AI = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \]
Cela signifie que \( I \) se situe sur le segment \( AB \) à une distance \( \frac{1}{4} \) du point \( A \). Le vecteur \( \overrightarrow{AI} \) est donc :
\[ \overrightarrow{AI} = \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \]

Ensuite, nous devons trouver le vecteur \( \overrightarrow{IJ} \). Si nous considérons \( \overrightarrow{AJ} \), nous devons nous appuyer sur la seconde information :
\[ EJ = \frac{3}{4} \overrightarrow{EH} + \frac{1}{2} \overrightarrow{EF} \]

Cela signifie que \( J \) se situe sur le plan \( EHF \) à une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.

Pour écrire \( \overrightarrow{IJ} \) en termes de vecteurs donnés :
\[ \overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{AJ} - \overrightarrow{AI} = \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{EH} + \frac{1}{2} \overrightarrow{EF} \right) - \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \]

**Vecteur \( \overrightarrow{HJ} \) :**

D’après l’énoncé, on a la relation :
\[ \overrightarrow{HJ} = \frac{3}{4} \overrightarrow{EH} \]

### 3. **Égalité vectorielle donnée :**

On nous demande de montrer l'égalité :
\[ \overrightarrow{IJ} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BD} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BF} \]

Comparons avec notre expression obtenue pour \( \overrightarrow{IJ} \) :
\[ \overrightarrow{IJ} = \left( \frac{3}{4} \overrightarrow{EH} + \frac{1}{2} \overrightarrow{EF} \right) - \frac{1}{4} \overrightarrow{AB} \]

Sachant que \( \overrightarrow{BD} \) et \( \overrightarrow{BF} \) sont les diagonales du cube dans les directions \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{EF} \), respectivement, nous devons vérifier si ces vecteurs peuvent être exprimés de la même manière.

### 4. **Positions relatives de la droite \( (IJ) \) et du plan \( (FDB) \) :**

Pour cela, nous devons examiner si le vecteur \( \overrightarrow{IJ} \) est contenu dans le plan \( FDB \) ou non.

Si le vecteur \( \overrightarrow{IJ} \) peut s'écrire comme une combinaison linéaire des vecteurs formant le plan \( FDB \), alors la droite \( (IJ) \) est incluse dans ce plan. Sinon, elle n'y est pas.

Les vecteurs \( \overrightarrow{FD} \), \( \overrightarrow{DB} \), et \( \overrightarrow{FB} \) sont dans le plan \( FDB \), donc nous devons tester si :
\[ \overrightarrow{IJ} = \alpha \overrightarrow{FD} + \beta \overrightarrow{DB} + \gamma \overrightarrow{FB} \]

Si cela est vérifié, la droite \( (IJ) \) est contenue dans le plan \( FDB \). Sinon, elle coupe le plan ou est parallèle.

### Conclusion :
Il est nécessaire de continuer à comparer les expressions vectorielles et à décomposer les vecteurs dans les directions du cube pour tirer les conclusions finales sur les positions relatives.

---

### Voulez-vous plus de détails sur les calculs spécifiques pour chaque vecteur, ou avez-vous des questions supplémentaires?

Voici quelques questions supplémentaires pour approfondir ce sujet :

1. Comment démontre-t-on qu'un point est sur une droite ou un plan dans un cube ?
2. Quelle est la relation entre les vecteurs diagonaux dans un cube ?
3. Comment trouver l'intersection d'une droite et d'un plan dans un espace tridimensionnel ?
4. Qu'est-ce que cela signifie géométriquement que deux vecteurs soient égaux ?
5. Comment les coordonnées des points I et J sont-elles affectées par les vecteurs donnés ?

**Tip:** Pour des problèmes de géométrie dans l'espace, il est souvent utile de dessiner la figure pour mieux comprendre les relations entre les vecteurs.

Explore vector geometry in a cube, solving for the equality IJ = 1/4 BD + HJ = 3/4 EH. This problem involves analyzing vector relations within a geometric cube structure, suitable for advanced high school students.

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