El máximo común divisor de dos números enteros positivos menores que 400 es igual a 8, Su mínimo común múltiplo es 15 veces uno de los enteros. ¿Cuál es la suma más grande posible de los dos enteros?

Para resolver este problema, utilizaremos las propiedades del máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm).

Sean \( a \) y \( b \) los dos números enteros positivos tales que \( MCD(a, b) = 8 \). Sabemos que \( mcm(a, b) = 15 \times a \) o \( mcm(a, b) = 15 \times b \).

### Paso 1: Representación de \( a \) y \( b \)

Dado que \( MCD(a, b) = 8 \), podemos escribir \( a \) y \( b \) como:

\[
a = 8x \quad \text{y} \quad b = 8y
\]

donde \( x \) y \( y \) son números enteros coprimos, es decir, \( MCD(x, y) = 1 \).

### Paso 2: Expresión del mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de \( a \) y \( b \) se puede escribir como:

\[
mcm(a, b) = 8xy
\]

Dado que \( mcm(a, b) = 15 \times a \), tenemos:

\[
8xy = 15 \times 8x
\]

Simplificando:

\[
y = 15
\]

### Paso 3: Cálculo de \( a \) y \( b \)

Sabemos que \( y = 15 \), y que \( x \) y \( y \) son coprimos, lo que significa que \( x = 1 \) (ya que 1 es el único divisor común de 1 y 15).

Por lo tanto:

\[
a = 8 \times 1 = 8 \quad \text{y} \quad b = 8 \times 15 = 120
\]

### Paso 4: Suma de los números

La suma de \( a \) y \( b \) es:

\[
a + b = 8 + 120 = 128
\]

### Paso 5: Verificación del caso opuesto

Si en lugar de \( mcm(a, b) = 15 \times a \) tenemos \( mcm(a, b) = 15 \times b \), tendríamos:

\[
x = 15 \quad \text{y} \quad y = 1
\]

Esto daría:

\[
a = 8 \times 15 = 120 \quad \text{y} \quad b = 8 \times 1 = 8
\]

La suma también sería:

\[
a + b = 120 + 8 = 128
\]

### Conclusión

La suma más grande posible de los dos enteros \( a \) y \( b \) es **128**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo cambiaría la respuesta si el MCD fuera 12 en lugar de 8?
2. ¿Qué otros pares de números \( a \) y \( b \) cumplen las condiciones dadas en el problema?
3. ¿Qué sucede si el mcm es 20 veces uno de los números en lugar de 15 veces?
4. ¿Cómo se calculan los valores posibles de \( a \) y \( b \) si se invierten las condiciones de MCD y mcm?
5. ¿Qué sucede si uno de los números es un número primo?

**Tip:** Cuando se trabaja con MCD y mcm, recuerda que el producto de dos números es igual al producto de su MCD y su mcm: \( a \times b = MCD(a, b) \times mcm(a, b) \).

Explore how to maximize the sum of two integers given their greatest common divisor (GCD) and least common multiple (LCM). This problem involves number theory concepts and their applications. Suitable for high school students.

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