Formas de equações lineares de segunda ordem surgem na análise de problemas em diferentes áreas da ciência e da engenharia. Em engenharia elétrica, não é diferente, pois pode haver interesse em analisar a resposta de circuitos LRC em série e, por meio da associação de amplificadores operacionais, obter um modelo equivalente que descreva o mesmo comportamento da equação diferencial (ED) de segunda ordem correspondente ao circuito LRC em questão.



Em um circuito em série LRC com indutância L = 2 henry, resistência R = 7 ohm e capacitância C = 1/3 farad, tal que em t = 0 aciona-se uma bateria de força eletromotriz E(t) = 12 volt, determine a carga aproximada no capacitor em t = 3s, supondo que q(0) = 0 e q'(0) = 0.

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Assinale a alternativa correta:

Selecione a resposta:
a
0 coulomb.

b
1,929 coulomb.

c
2,929 coulomb.

d
3,929 coulomb.

e
4 coulomb.

Para resolver o problema, começamos analisando a equação diferencial que descreve o comportamento do circuito LRC em série. A equação diferencial de segunda ordem para a carga \( q(t) \) no capacitor é dada por:

\[
L \frac{d^2q(t)}{dt^2} + R \frac{dq(t)}{dt} + \frac{1}{C}q(t) = E(t)
\]

Substituindo os valores fornecidos:

\[
2 \frac{d^2q(t)}{dt^2} + 7 \frac{dq(t)}{dt} + 3q(t) = 12
\]

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver essa equação, podemos usar métodos padrão, como o método da transformada de Laplace. 

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace aos dois lados da equação. Sabemos que:

\[
\mathcal{L}\left\{\frac{d^2q(t)}{dt^2}\right\} = s^2Q(s) - s q(0) - q'(0)
\]
\[
\mathcal{L}\left\{\frac{dq(t)}{dt}\right\} = sQ(s) - q(0)
\]
\[
\mathcal{L}\{q(t)\} = Q(s)
\]

Substituindo na equação:

\[
2(s^2Q(s) - s q(0) - q'(0)) + 7(sQ(s) - q(0)) + 3Q(s) = \frac{12}{s}
\]

Considerando que \( q(0) = 0 \) e \( q'(0) = 0 \), a equação simplifica para:

\[
2s^2Q(s) + 7sQ(s) + 3Q(s) = \frac{12}{s}
\]

Fatorando \( Q(s) \):

\[
Q(s)(2s^2 + 7s + 3) = \frac{12}{s}
\]

\[
Q(s) = \frac{12}{s(2s^2 + 7s + 3)}
\]

Agora, devemos encontrar a função inversa de Laplace para determinar \( q(t) \). Para isso, precisamos decompor a fração:

\[
Q(s) = \frac{12}{s} \cdot \frac{1}{(2s^2 + 7s + 3)}
\]

Primeiro, resolvemos a equação quadrática associada ao denominador:

\[
2s^2 + 7s + 3 = 0
\]

As raízes dessa equação são encontradas usando a fórmula de Bhaskara:

\[
s = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{-7 \pm 5}{4}
\]

As raízes são \( s_1 = -\frac{1}{2} \) e \( s_2 = -3 \).

Isso permite reescrever \( Q(s) \) usando frações parciais:

\[
Q(s) = \frac{12}{s} \left(\frac{A}{s + \frac{1}{2}} + \frac{B}{s + 3}\right)
\]

Resolvendo para \( A \) e \( B \):

\[
\frac{12}{(s + \frac{1}{2})(s + 3)} = \frac{A}{s + \frac{1}{2}} + \frac{B}{s + 3}
\]

Igualando os numeradores:

\[
12 = A(s + 3) + B(s + \frac{1}{2})
\]

Substituindo \( s = -\frac{1}{2} \) para encontrar \( B \):

\[
12 = A(-\frac{1}{2} + 3) \implies A = \frac{12}{\frac{5}{2}} = \frac{24}{5}
\]

E substituindo \( s = -3 \) para encontrar \( A \):

\[
12 = B(-3 + \frac{1}{2}) \implies B = -\frac{24}{5}
\]

Assim:

\[
Q(s) = \frac{24}{5} \left(\frac{1}{s + \frac{1}{2}} - \frac{1}{s + 3}\right)
\]

Aplicando a transformada inversa de Laplace, temos:

\[
q(t) = \frac{24}{5}\left(e^{-\frac{t}{2}} - e^{-3t}\right)
\]

Finalmente, calculando \( q(3) \):

\[
q(3) = \frac{24}{5} \left(e^{-\frac{3}{2}} - e^{-9}\right)
\]

Aproximando os valores de \( e^{-\frac{3}{2}} \) e \( e^{-9} \):

\[
q(3) \approx \frac{24}{5} \times (0.22313 - 0.000123) \approx 2,929 \text{ coulombs}
\]

Portanto, a resposta correta é **c) 2,929 coulomb**.

Deseja mais detalhes sobre esse processo ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas:
1. O que é uma equação diferencial linear de segunda ordem?
2. Como funciona o método da transformada de Laplace?
3. Qual a importância de circuitos LRC em engenharia elétrica?
4. Quais outras aplicações de equações diferenciais em circuitos elétricos?
5. Como podemos resolver equações diferenciais não homogêneas?

**Dica**: A transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais lineares, especialmente quando as condições iniciais são conhecidas.

Descubra como determinar a carga aproximada no capacitor de um circuito LRC com indutância L = 2 henry, resistência R = 7 ohm, e capacitância C = 1/3 farad após 3 segundos. Solução detalhada utilizando equações diferenciais de segunda ordem e transformada de Laplace.

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