podrias desarrollarme como resolviste las primeras derivadas parciales?

Por supuesto, te mostraré cómo se desarrollan las primeras derivadas parciales del producto \( P(x, y) = x \cdot y \cdot (24 - x - y) \) respecto a \( x \) y \( y \).

### 1. Expansión de la función \( P(x, y) \)
Primero, expandamos la expresión para \( P(x, y) \):

\[
P(x, y) = x \cdot y \cdot (24 - x - y)
\]

Distribuyendo:

\[
P(x, y) = x \cdot y \cdot 24 - x \cdot y \cdot x - x \cdot y \cdot y
\]

\[
P(x, y) = 24xy - x^2y - xy^2
\]

Entonces, la función a maximizar es:

\[
P(x, y) = 24xy - x^2y - xy^2
\]

### 2. Derivada parcial de \( P(x, y) \) respecto a \( x \)
Ahora, tomamos la derivada parcial de \( P(x, y) \) con respecto a \( x \). Recuerda que al derivar con respecto a \( x \), tratamos \( y \) como una constante:

\[
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (24xy - x^2y - xy^2)
\]

Derivando término a término:

- Derivada del primer término \( 24xy \) respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial}{\partial x} (24xy) = 24y
\]

- Derivada del segundo término \( x^2y \) respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial}{\partial x} (x^2y) = 2xy
\]

- Derivada del tercer término \( xy^2 \) respecto a \( x \):

\[
\frac{\partial}{\partial x} (xy^2) = y^2
\]

Por lo tanto, la derivada parcial de \( P \) respecto a \( x \) es:

\[
\frac{\partial P}{\partial x} = 24y - 2xy - y^2
\]

### 3. Derivada parcial de \( P(x, y) \) respecto a \( y \)
De manera similar, tomamos la derivada parcial de \( P(x, y) \) con respecto a \( y \). Esta vez tratamos \( x \) como una constante:

\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (24xy - x^2y - xy^2)
\]

Derivando término a término:

- Derivada del primer término \( 24xy \) respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial}{\partial y} (24xy) = 24x
\]

- Derivada del segundo término \( x^2y \) respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial}{\partial y} (x^2y) = x^2
\]

- Derivada del tercer término \( xy^2 \) respecto a \( y \):

\[
\frac{\partial \partial y} (xy^2) = 2xy
\]

Por lo tanto, la derivada parcial de \( P \) respecto a \( y \) es:

\[
\frac{\partial P}{\partial y} = 24x - x^2 - 2xy
\]

### Resumen de las derivadas parciales
Las derivadas parciales que obtuvimos son:

1. Derivada parcial respecto a \( x \):

   \[
   \frac{\partial P}{\partial x} = 24y - 2xy - y^2
   \]

2. Derivada parcial respecto a \( y \):

   \[
   \frac{\partial P}{\partial y} = 24x - x^2 - 2xy
   \]

Estas derivadas parciales se igualan a cero para encontrar los puntos críticos y así determinar los valores de \( x \) y \( y \) que maximizan el producto \( P(x, y) \).

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¿Te gustaría más información o tienes alguna otra pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se determinan los puntos críticos después de obtener las derivadas parciales?
2. ¿Qué ocurre si se encuentran múltiples soluciones para los puntos críticos?
3. ¿Cómo se verifica si los puntos críticos corresponden a un máximo o mínimo?
4. ¿Cómo influye la restricción de suma fija en la optimización?
5. ¿Qué diferencia hay entre maximizar un producto y maximizar una suma?

**Tip:** Al trabajar con derivadas parciales y optimización, es útil recordar que igualar a cero las derivadas parciales te da los candidatos a máximo o mínimo, pero siempre es importante verificar si corresponden a un máximo o un mínimo usando métodos adicionales, como la prueba de la segunda derivada o el análisis de los bordes.

Explore how to compute the partial derivatives of the product function P(x, y) = x * y * (24 - x - y) with detailed steps. This problem delves into multivariable calculus and optimization techniques. Suitable for advanced college-level mathematics.

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