Obtener los tres números positivos cuya suma sea 24 y tal que su producto
sea lo más grande posible. 


Para encontrar los tres números positivos cuya suma sea 24 y cuyo producto sea máximo, podemos plantear el problema de optimización usando cálculo y álgebra.

Supongamos que los tres números son \( x \), \( y \) y \( z \). Entonces, tenemos las siguientes condiciones:

1. La suma de los números es:  
   \[
   x + y + z = 24
   \]

2. Queremos maximizar el producto:  
   \[
   P = x \cdot y \cdot z
   \]

Podemos usar la condición de la suma para expresar uno de los números en función de los otros dos. Por ejemplo, podemos escribir \( z \) como:

\[
z = 24 - x - y
\]

Entonces, el producto \( P \) en términos de \( x \) y \( y \) es:

\[
P(x, y) = x \cdot y \cdot (24 - x - y)
\]

Ahora, para maximizar este producto, debemos tomar las derivadas parciales de \( P(x, y) \) respecto a \( x \) y \( y \) y encontrar los puntos críticos:

1. Derivada parcial respecto a \( x \):
   \[
   \frac{\partial P}{\partial x} = y(24 - x - y) - xy = 24y - 2xy - y^2
   \]

2. Derivada parcial respecto a \( y \):
   \[
   \frac{\partial P}{\partial y} = x(24 - x - y) - xy = 24x - 2xy - x^2
   \]

Para encontrar los puntos críticos, igualamos ambas derivadas parciales a cero:

\[
24y - 2xy - y^2 = 0
\]
\[
24x - 2xy - x^2 = 0
\]

Si observamos la simetría de las ecuaciones, podemos inferir que una solución simétrica sería aquella en la que \( x = y = z \). Entonces, si \( x = y = z \), tenemos:

\[
x + x + x = 24 \quad \Rightarrow \quad 3x = 24 \quad \Rightarrow \quad x = 8
\]

Por lo tanto, los tres números son \( 8 \), \( 8 \) y \( 8 \). Ahora, verifiquemos el producto:

\[
P = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512
\]

Este es el producto máximo dado que \( x = y = z = 8 \).

**Conclusión:** Los tres números son \( 8 \), \( 8 \) y \( 8 \), y el producto máximo es 512.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se podría resolver este problema usando métodos numéricos?
2. ¿Qué otros métodos de optimización podrían aplicarse aquí?
3. ¿Cómo afecta la variación de uno de los números al producto?
4. ¿Cómo resolverías este problema si los números fueran enteros no necesariamente positivos?
5. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene este tipo de problemas?

**Tip:** En problemas de maximización con restricciones, una técnica común es usar el método de los multiplicadores de Lagrange.

Explore how to maximize the product of three positive numbers that sum up to 24. This mathematical problem involves optimization techniques and algebraic manipulation to find the optimal values. Suitable for advanced high school students and anyone interested in mathematical optimization.

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