Dada la función  ℎ(𝑥)=3𝑥^3-12𝑥^2+15x+1   , ¿en qué intervalo tiene un máximo absoluto?

Para determinar en qué intervalo la función \( h(x) = 3x^3 - 12x^2 + 15x + 1 \) tiene un máximo absoluto, primero debemos encontrar los puntos críticos de la función y luego analizar el comportamiento de \( h(x) \) en esos puntos.

### 1. Derivada de \( h(x) \)
Primero, calculamos la derivada de \( h(x) \) para encontrar los puntos críticos:
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 12x^2 + 15x + 1)
\]
\[
h'(x) = 9x^2 - 24x + 15
\]

### 2. Encontrar los puntos críticos
Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación cuadrática:
\[
9x^2 - 24x + 15 = 0
\]

Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Donde \( a = 9 \), \( b = -24 \), y \( c = 15 \).

\[
x = \frac{24 \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(9)(15)}}{2(9)}
\]
\[
x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 540}}{18}
\]
\[
x = \frac{24 \pm \sqrt{36}}{18}
\]
\[
x = \frac{24 \pm 6}{18}
\]

Esto nos da dos soluciones:
\[
x_1 = \frac{30}{18} = \frac{5}{3} \approx 1.67
\]
\[
x_2 = \frac{18}{18} = 1
\]

### 3. Análisis de los puntos críticos
Para determinar si estos puntos corresponden a un máximo o mínimo, calculamos la segunda derivada:
\[
h''(x) = \frac{d}{dx}(9x^2 - 24x + 15) = 18x - 24
\]

Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos:
\[
h''(1) = 18(1) - 24 = -6 \quad \text{(Negativo, indica un máximo local en \( x = 1 \))}
\]
\[
h''\left(\frac{5}{3}\right) = 18\left(\frac{5}{3}\right) - 24 = 30 - 24 = 6 \quad \text{(Positivo, indica un mínimo local en \( x = \frac{5}{3} \))}
\]

### 4. Conclusión
El máximo absoluto ocurre en el punto crítico \( x = 1 \). Para confirmar que este es el máximo absoluto en el intervalo completo, podemos evaluar los valores de la función en los extremos del intervalo (si se especifica alguno) y comparar con el valor en \( x = 1 \). 

Si no hay un intervalo específico dado, entonces el máximo absoluto se encuentra en \( x = 1 \).

¿Te gustaría más detalles sobre cómo encontrar el intervalo específico, o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el valor exacto del máximo absoluto en \( x = 1 \)?
2. ¿Qué sucede con los puntos críticos si se cambia el coeficiente del término \( x^3 \)?
3. ¿Cómo se determina si una función tiene un mínimo absoluto?
4. ¿Cómo afecta el signo de la derivada segunda a la concavidad de la función?
5. ¿Qué otros métodos existen para encontrar máximos y mínimos absolutos?

**Tip:** Siempre verifica la segunda derivada para confirmar si un punto crítico es un máximo o un mínimo.

Explore how to find the interval of absolute maximum for the function h(x) = 3x^3 - 12x^2 + 15x + 1 using calculus. This problem involves determining critical points, analyzing second derivatives, and applying the second derivative test. Suitable for advanced high school students studying calculus.

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