TENGO ESTAS OPCIONES DE RESPUESTA: 
a.
(-1,1)


b.
(-∞, - 1)


c.
(3,+∞)


d.
-1,3

Para determinar cuál de las opciones corresponde al intervalo en el que la función \( h(x) = 3x^3 - 12x^2 + 15x + 1 \) tiene un máximo absoluto, consideremos el análisis realizado anteriormente.

### Resumen del análisis:
- Encontramos los puntos críticos de la función en \( x = 1 \) y \( x = \frac{5}{3} \approx 1.67 \).
- En \( x = 1 \), la segunda derivada fue negativa (\( h''(1) = -6 \)), indicando un **máximo local**.
- En \( x = \frac{5}{3} \), la segunda derivada fue positiva (\( h''\left(\frac{5}{3}\right) = 6 \)), indicando un **mínimo local**.

Ahora, evaluemos cada opción:
- \( \textbf{a. } (-1,1) \): El máximo en \( x = 1 \) está en el límite superior del intervalo, pero el intervalo en sí no incluye \( x = 1 \) propiamente.
- \( \textbf{b. } (-\infty, -1) \): No incluye el punto crítico \( x = 1 \), por lo tanto, no es el intervalo donde se encuentra el máximo.
- \( \textbf{c. } (3, +\infty) \): No incluye el punto crítico \( x = 1 \), así que no puede ser el intervalo con el máximo.
- \( \textbf{d. } (-1, 3) \): Este intervalo **incluye** el punto \( x = 1 \), donde encontramos el máximo local.

### Conclusión:
La respuesta correcta es:
- **d. \((-1, 3)\)**

Este es el intervalo que incluye el punto donde se encuentra el máximo absoluto de la función.

¿Quieres que revisemos algún paso en más detalle o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula el valor de \( h(1) \) para determinar el máximo absoluto?
2. ¿Cómo afecta un cambio en los coeficientes a los puntos críticos?
3. ¿Qué sucede si incluimos el valor \( x = 3 \) en la evaluación de la función?
4. ¿Por qué es importante la segunda derivada en el análisis de máximos y mínimos?
5. ¿Cómo se encontrarían los puntos de inflexión de esta función?

**Tip:** Analiza siempre el intervalo que incluye todos los puntos críticos importantes para identificar correctamente el máximo o mínimo absoluto.

Learn how to identify the interval where the cubic function h(x) = 3x^3 - 12x^2 + 15x + 1 has a maximum absolute value. Detailed analysis includes finding critical points, evaluating second derivatives, and understanding the first and second derivative tests. Suitable for college-level calculus students.

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