transformar √(2)Cis315° a su forma comun

Para transformar el número complejo dado en forma polar \( \sqrt{2} \text{Cis} 315^\circ \) a su forma común (rectangular), seguimos estos pasos:

1. **Convertir el ángulo a radianes** (opcional):
   - Como \( 315^\circ \) ya está en grados y no es un ángulo especial que necesite conversión directa para un cálculo con más precisión, podemos seguir en grados si queremos un cálculo más directo.
  
2. **Usar la fórmula de Euler para convertir de forma polar a rectangular**:
   - La forma polar \( r \text{Cis} \theta \) se puede escribir en su forma rectangular como \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \).

3. **Calcular el valor en términos de seno y coseno**:
   - \( z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ) \)

4. **Calcular \( \cos 315^\circ \) y \( \sin 315^\circ \)**:
   - \( \cos 315^\circ = \cos(360^\circ - 45^\circ) = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
   - \( \sin 315^\circ = \sin(360^\circ - 45^\circ) = -\sin 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)

5. **Sustituir y simplificar**:
   - \( z = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) \)
   - \( z = \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) i \)
   - \( z = 1 - i \)

Por lo tanto, la forma común (rectangular) de \( \sqrt{2} \text{Cis} 315^\circ \) es \( \boxed{1 - i} \).

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas para ampliar tu comprensión:

1. ¿Cómo se convierte un número complejo de forma rectangular a forma polar?
2. ¿Qué significan \( \cos \theta \) y \( \sin \theta \) en términos de coordenadas en el plano complejo?
3. ¿Qué sucede si el ángulo en la forma polar es negativo?
4. ¿Cómo se puede verificar la conversión de una forma polar a rectangular?
5. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la forma polar y rectangular en el plano complejo?

**Tip:** Para trabajar con números complejos, es útil recordar que la forma polar facilita multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma rectangular es más conveniente para sumas y restas.

Learn how to convert the complex number √(2)Cis315° from polar form to its rectangular form. This solution explains the use of Euler's formula and trigonometric identities, providing a step-by-step transformation. Suitable for students in Grades 10-12.

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