Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Vamos a lograr depositar en una institución bancaria $2,000 al fin de cada mes. Considerando que la institución bancaria nos va a pagar una tasa de 6% semestral ¿Cuál será la cantidad de dinero que se logrará reunir, al final del año?
2. Vamos a recibir un préstamo por $200,000 para adquirir un equipo. Esta cantidad la pagaremos en cantidades iguales en 5 años, para lo cual debemos considerar una tasa de interés del 18% capitalizable anualmente. resuelve anexando: datos, formula, sustitucion y resultado

Vamos a resolver los ejercicios paso a paso, proporcionando los datos, la fórmula utilizada, la sustitución y el resultado.

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### **Ejercicio 1: Depósitos mensuales con tasa de interés semestral**

#### **Datos:**

- Depósito mensual: $ D = 2,000 $ 
- Tasa de interés semestral: $ i_s = 6\% = 0.06 $
- Duración: 12 meses (1 año)
- El interés es semestral, por lo tanto hay 2 semestres en un año.
  
El objetivo es encontrar el valor futuro $ VF $ que se acumulará al final del año.

#### **Fórmula:**

Dado que los depósitos se realizan mensualmente, pero la tasa de interés es semestral, tenemos que ajustar la fórmula de valor futuro de una anualidad ordinaria para el contexto adecuado. La fórmula general del valor futuro de una serie de pagos iguales (anualidad ordinaria) es:

\[
VF = D \times \frac{(1 + i)^n - 1}{i}
\]

Donde:

- $ D $ es el depósito (2,000),
- $ i $ es la tasa de interés por período,
- $ n $ es el número total de períodos.

En este caso, debemos considerar lo siguiente:

1. La tasa semestral es del 6%, por lo que la tasa mensual efectiva $ i_m $ será:

\[
i_m = (1 + i_s)^{\frac{1}{6}} - 1 = (1 + 0.06)^{\frac{1}{6}} - 1
\]

2. El número de períodos es de 12 meses, ya que los depósitos son mensuales durante un año.

#### **Sustitución:**

Primero calculamos la tasa mensual efectiva:

\[
i_m = (1 + 0.06)^{\frac{1}{6}} - 1 = 0.0097 \text{ (aproximadamente)}
\]

Luego, aplicamos la fórmula para calcular el valor futuro:

\[
VF = 2,000 \times \frac{(1 + 0.0097)^{12} - 1}{0.0097}
\]

\[
VF = 2,000 \times \frac{(1.0097)^{12} - 1}{0.0097}
\]

Calculando esto:

\[
VF \approx 2,000 \times 12.627
\]

#### **Resultado:**

\[
VF \approx 25,254
\]

Al final del año, se logrará reunir **$25,254**.

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### **Ejercicio 2: Préstamo para adquirir equipo**

#### **Datos:**

- Monto del préstamo: $ P = 200,000 $
- Tasa de interés anual: $ i = 18\% = 0.18 $
- Duración: $ n = 5 $ años
- La tasa se capitaliza anualmente, y se harán pagos anuales en cantidades iguales.

El objetivo es encontrar el pago anual $ A $ necesario para liquidar el préstamo.

#### **Fórmula:**

La fórmula para el pago de una anualidad ordinaria para amortizar un préstamo es:

\[
A = P \times \frac{i(1 + i)^n}{(1 + i)^n - 1}
\]

Donde:

- $ A $ es el pago anual,
- $ P $ es el monto del préstamo,
- $ i $ es la tasa de interés anual,
- $ n $ es el número de años.

#### **Sustitución:**

Sustituyendo los valores en la fórmula:

\[
A = 200,000 \times \frac{0.18(1 + 0.18)^5}{(1 + 0.18)^5 - 1}
\]

Calculamos primero $ (1 + 0.18)^5 $:

\[
(1 + 0.18)^5 = 2.293
\]

Ahora calculamos el pago anual:

\[
A = 200,000 \times \frac{0.18 \times 2.293}{2.293 - 1}
\]

\[
A = 200,000 \times \frac{0.4127}{1.293}
\]

\[
A = 200,000 \times 0.319
\]

\[
A \approx 63,800
\]

#### **Resultado:**

El pago anual será de aproximadamente **$63,800**.

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### Resumen:
1. **Cantidad al final del año por depósitos mensuales**: $25,254.
2. **Pago anual para liquidar el préstamo de $200,000 en 5 años**: $63,800.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo afectaría una tasa de interés mayor en el ejercicio 1?
2. Si la tasa de interés fuera trimestral en el ejercicio 1, ¿cómo cambiaría el cálculo?
3. ¿Qué sucede si el préstamo del ejercicio 2 se paga en 10 años en lugar de 5?
4. ¿Cómo se calcula el valor presente de una anualidad?
5. ¿Qué diferencia hay entre una anualidad ordinaria y una anualidad vencida?

### Tip:
Recuerda que la capitalización afecta el crecimiento del interés. Cuanto más frecuente es la capitalización, mayor es el interés total acumulado.

Resuelve los siguientes ejercicios: 1. Vamos a lograr depositar en una institución bancaria $2,000 al fin de cada mes. Considerando que la institución bancaria nos va a pagar una tasa de 6% semestral ¿Cuál será la cantidad de dinero que se logrará reunir, al final del año? 2. Vamos a recibir un préstamo por $200,000 para adquirir un equipo. Esta cantidad la pagaremos en cantidades iguales en 5 años, para lo cual debemos considerar una tasa de interés del 18% capitalizable anualmente. Resuelve anexando: datos, fórmula, sustitución y resultado.

Resuelve problemas financieros sobre depósitos mensuales con una tasa semestral del 6% y un préstamo de $200,000 con un 18% anual capitalizable. Aprende cómo calcular el valor futuro de una serie de pagos y el pago anual necesario para liquidar un préstamo. Ideal para estudiantes de nivel avanzado.

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