Una partícula parte de su posición inicial ﻿negrita r paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho igual 2 espacio negrita i menos 2 espacio negrita j menos 3 espacio negrita k﻿ ﻿negrita r paréntesis izquierdo 0 paréntesis derecho igual 2 bold italic i menos 2 negrita j menos 3 negrita k﻿. Dos segundos después su velocidad es ﻿negrita v paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho igual 7 espacio negrita i más 8 espacio negrita j más 16 espacio negrita k﻿ ﻿negrita v paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual negrita r apóstrofo paréntesis izquierdo 1 paréntesis derecho igual 4 negrita i más 5 negrita j más 2 negrita k negrita espacio﻿. Si su aceleración es ﻿bold italic a paréntesis izquierdo t paréntesis derecho igual 3 espacio negrita i más 2 t espacio negrita j más 6 t al cuadrado espacio negrita k﻿, determine la posición en cualquier instante.

Para determinar la posición de la partícula en cualquier instante \( t \), comenzamos conociendo las siguientes ecuaciones relacionadas con el movimiento de la partícula:

1. **Posición inicial:** \( \mathbf{r}(0) = 2 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} - 3 \mathbf{k} \)
2. **Velocidad en \( t = 2 \):** \( \mathbf{v}(2) = 7 \mathbf{i} + 8 \mathbf{j} + 16 \mathbf{k} \)
3. **Aceleración:** \( \mathbf{a}(t) = 3 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} + 6t^2 \mathbf{k} \)

### Paso 1: Encontrar la velocidad en cualquier instante \( t \)

Sabemos que la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo:

\[
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}
\]

Por lo tanto, para obtener la velocidad, integramos la aceleración con respecto al tiempo:

\[
\mathbf{v}(t) = \int \mathbf{a}(t) \, dt = \int (3 \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} + 6t^2 \mathbf{k}) \, dt
\]

Al realizar la integración, obtenemos:

\[
\mathbf{v}(t) = 3t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} + 2t^3 \mathbf{k} + \mathbf{C}
\]

donde \( \mathbf{C} \) es el vector constante de integración, que podemos determinar utilizando la condición de que la velocidad en \( t = 2 \) es \( \mathbf{v}(2) = 7 \mathbf{i} + 8 \mathbf{j} + 16 \mathbf{k} \).

Sustituimos \( t = 2 \) en la expresión de la velocidad:

\[
7 \mathbf{i} + 8 \mathbf{j} + 16 \mathbf{k} = 3(2) \mathbf{i} + (2)^2 \mathbf{j} + 2(2)^3 \mathbf{k} + \mathbf{C}
\]

\[
7 \mathbf{i} + 8 \mathbf{j} + 16 \mathbf{k} = 6 \mathbf{i} + 4 \mathbf{j} + 16 \mathbf{k} + \mathbf{C}
\]

Resolviendo para \( \mathbf{C} \):

\[
\mathbf{C} = (7 - 6) \mathbf{i} + (8 - 4) \mathbf{j} + (16 - 16) \mathbf{k} = \mathbf{i} + 4 \mathbf{j}
\]

Por lo tanto, la expresión de la velocidad en cualquier instante \( t \) es:

\[
\mathbf{v}(t) = 3t \mathbf{i} + t^2 \mathbf{j} + 2t^3 \mathbf{k} + \mathbf{i} + 4 \mathbf{j}
\]

o de manera simplificada:

\[
\mathbf{v}(t) = (3t + 1) \mathbf{i} + (t^2 + 4) \mathbf{j} + 2t^3 \mathbf{k}
\]

### Paso 2: Encontrar la posición en cualquier instante \( t \)

La posición \( \mathbf{r}(t) \) es la integral de la velocidad con respecto al tiempo:

\[
\mathbf{r}(t) = \int \mathbf{v}(t) \, dt = \int \left( (3t + 1) \mathbf{i} + (t^2 + 4) \mathbf{j} + 2t^3 \mathbf{k} \right) \, dt
\]

Realizando la integración:

\[
\mathbf{r}(t) = \left( \frac{3t^2}{2} + t \right) \mathbf{i} + \left( \frac{t^3}{3} + 4t \right) \mathbf{j} + \left( \frac{2t^4}{4} \right) \mathbf{k} + \mathbf{C_1}
\]

donde \( \mathbf{C_1} \) es un nuevo vector constante de integración que podemos determinar utilizando la condición inicial de que \( \mathbf{r}(0) = 2 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} - 3 \mathbf{k} \).

Sustituyendo \( t = 0 \):

\[
\mathbf{r}(0) = \mathbf{C_1} = 2 \mathbf{i} - 2 \mathbf{j} - 3 \mathbf{k}
\]

Por lo tanto, la posición en cualquier instante \( t \) es:

\[
\mathbf{r}(t) = \left( \frac{3t^2}{2} + t + 2 \right) \mathbf{i} + \left( \frac{t^3}{3} + 4t - 2 \right) \mathbf{j} + \left( \frac{t^4}{2} - 3 \right) \mathbf{k}
\]

Esta es la expresión de la posición de la partícula en cualquier instante \( t \).

¿Te gustaría alguna aclaración o detalles adicionales?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo afecta la aceleración dependiente del tiempo en el movimiento de la partícula?
2. ¿Qué sucedería si la aceleración fuera constante en lugar de dependiente de \( t \)?
3. ¿Cómo podemos usar este tipo de análisis para resolver problemas de movimiento en física?
4. ¿Cómo se determinarían las ecuaciones si se conociera una condición adicional, como la velocidad en \( t = 0 \)?
5. ¿Qué interpretación física tiene la constante de integración en las ecuaciones de movimiento?

**Tip:** Al integrar una aceleración dependiente del tiempo, las constantes de integración se determinan utilizando condiciones iniciales o valores conocidos en tiempos específicos.

Explore how to determine the position of a particle using kinematic equations and integration techniques. This problem involves vector calculus and is suitable for undergraduate-level physics or engineering students.

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