resolver esta ecuacion diferencial por el metodo de separacion de variables 2( 
xy
​
 −y)dx+xdy=0

Para resolver la ecuación diferencial por el método de separación de variables, primero reescribimos la ecuación dada de una manera que permita separar las variables \(x\) y \(y\). La ecuación diferencial dada es:

\[
2(xy - y)dx + xdy = 0
\]

### Paso 1: Factorizar la ecuación

Primero, factorizamos el término común en \(xy - y\):

\[
2y(x - 1)dx + xdy = 0
\]

### Paso 2: Reorganizar la ecuación

Llevamos uno de los términos al otro lado de la ecuación para poder separar las variables:

\[
2y(x - 1)dx = -xdy
\]

### Paso 3: Separar las variables

Ahora, intentamos separar las variables \(x\) y \(y\). Dividimos ambos lados de la ecuación por \(yx(x - 1)\) (asumiendo que \(x \neq 1\) y \(y \neq 0\)):

\[
\frac{2(x - 1)}{x}dx = -\frac{1}{y}dy
\]

Simplificamos la fracción en el lado izquierdo:

\[
2 \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx = -\frac{1}{y}dy
\]

### Paso 4: Integrar ambos lados

Integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int \left( 2 - \frac{2}{x} \right) dx = \int -\frac{1}{y} dy
\]

Esto se convierte en:

\[
\int 2 dx - \int \frac{2}{x} dx = -\int \frac{1}{y} dy
\]

Las integrales son:

\[
2x - 2\ln|x| = -\ln|y| + C
\]

donde \(C\) es la constante de integración.

### Paso 5: Reorganizar la solución

Para simplificar, multiplicamos ambos lados por \(-1\):

\[
-2x + 2\ln|x| = \ln|y| - C
\]

Podemos absorber el signo negativo en la constante \(C\):

\[
2x - 2\ln|x| + C_1 = \ln|y|
\]

Finalmente, exponenciamos ambos lados para resolver para \(y\):

\[
y = e^{2x - 2\ln|x| + C_1}
\]

Lo cual podemos escribir como:

\[
y = e^{C_1} \cdot e^{2x} \cdot e^{-2\ln|x|}
\]

Dado que \(e^{C_1}\) es una constante, la renombramos como \(C_2\), y \(e^{-2\ln|x|}\) es \(\frac{1}{x^2}\):

\[
y = C_2 \cdot \frac{e^{2x}}{x^2}
\]

### Solución final

La solución general de la ecuación diferencial es:

\[
y = \frac{C \cdot e^{2x}}{x^2}
\]

donde \(C\) es una constante arbitraria.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este proceso?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplicaría el método de separación de variables a una ecuación diferencial diferente?
2. ¿Qué significa la constante de integración en la solución de ecuaciones diferenciales?
3. ¿Cómo afectaría un término constante adicional en la ecuación original al proceso de solución?
4. ¿Cuáles son las condiciones iniciales comunes y cómo afectan a la solución de ecuaciones diferenciales?
5. ¿Podría explicarse cómo se aplica la integración por partes en un contexto similar?

**Tip:** Cuando resuelves una ecuación diferencial, es importante verificar si puedes simplificar la ecuación antes de intentar la separación de variables.

Learn how to solve the differential equation 2(xy - y)dx + xdy = 0 using the separation of variables method. This problem involves advanced concepts in differential equations, including the application of separation of variables and integration techniques. Suitable for college-level students and anyone studying advanced calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation