Sea C la curva dada por la función vectorial  f(t)=4Cos (t);3t+4;4Sen (t)+5 ; 0 ≤ t ≤2π.
Calcule la longitud de la curva C.

Para calcular la longitud de la curva \( C \) dada por la función vectorial \( \mathbf{f}(t) = \langle 4\cos(t), 3t + 4, 4\sin(t) + 5 \rangle \) en el intervalo \( 0 \leq t \leq 2\pi \), se utiliza la siguiente fórmula:

\[
L = \int_{a}^{b} \|\mathbf{f}'(t)\| \, dt
\]

donde \( \mathbf{f}'(t) \) es la derivada de \( \mathbf{f}(t) \) con respecto a \( t \), y \( \|\mathbf{f}'(t)\| \) es la norma de esa derivada.

Primero, calculemos la derivada de \( \mathbf{f}(t) \) con respecto a \( t \):

\[
\mathbf{f}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(4\cos(t)), \frac{d}{dt}(3t + 4), \frac{d}{dt}(4\sin(t) + 5) \right\rangle 
\]

\[
\mathbf{f}'(t) = \left\langle -4\sin(t), 3, 4\cos(t) \right\rangle 
\]

Ahora, calculemos la norma de \( \mathbf{f}'(t) \):

\[
\|\mathbf{f}'(t)\| = \sqrt{(-4\sin(t))^2 + 3^2 + (4\cos(t))^2}
\]

\[
\|\mathbf{f}'(t)\| = \sqrt{16\sin^2(t) + 9 + 16\cos^2(t)}
\]

Usamos la identidad trigonométrica \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \) para simplificar:

\[
\|\mathbf{f}'(t)\| = \sqrt{16(\sin^2(t) + \cos^2(t)) + 9} = \sqrt{16(1) + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

Finalmente, la longitud de la curva se calcula como:

\[
L = \int_{0}^{2\pi} 5 \, dt
\]

\[
L = 5 \int_{0}^{2\pi} dt = 5[t]_{0}^{2\pi} = 5(2\pi - 0) = 10\pi
\]

Por lo tanto, la longitud de la curva \( C \) es \( 10\pi \) unidades.

¿Te gustaría que profundice en algún paso o tienes alguna pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se deriva una función vectorial en general?
2. ¿Por qué se usa la norma de la derivada para calcular la longitud de la curva?
3. ¿Qué otros métodos existen para calcular la longitud de una curva en el espacio?
4. ¿Cómo afectan los límites de integración al resultado de la longitud de la curva?
5. ¿Qué cambios se esperaría en la longitud de la curva si la función vectorial incluyera un parámetro adicional?

**Tip:** Recuerda que la longitud de una curva en el espacio es independiente de cómo la función parametrice la curva, siempre y cuando se respete la dirección y sentido de recorrido en el intervalo dado.

Learn how to calculate the length of curve C parametrized by the vector function f(t) = (4Cos(t), 3t + 4, 4Sen(t) + 5) over the interval 0 ≤ t ≤ 2π. This problem involves vector calculus, parametric equations, and integral calculus using the norm of the derivative formula. Suitable for university-level students and those interested in advanced calculus concepts.

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