 cual es la repuesta de esto . Sea C la curva dada por la función vectorial  f(t)=4Cos (t);3t+4;4Sen (t)+5 ; 0 ≤ t ≤2π.
Calcule la longitud de la curva C.

La longitud de la curva \( C \) dada por la función vectorial \( \mathbf{f}(t) = \langle 4\cos(t), 3t + 4, 4\sin(t) + 5 \rangle \) en el intervalo \( 0 \leq t \leq 2\pi \) es:

\[
\textbf{Longitud de la curva} = 10\pi \text{ unidades.}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se encuentra la norma de un vector en el espacio tridimensional?
2. ¿Qué ocurre si cambiamos el intervalo de \( t \) para calcular la longitud de la curva?
3. ¿Qué aplicaciones tiene el cálculo de la longitud de curvas en la vida real?
4. ¿Cómo afecta la función seno y coseno a la forma de la curva en el espacio?
5. ¿Qué significa geométricamente la derivada de una función vectorial?

**Tip:** Para comprobar la longitud de una curva paramétrica, es útil verificar primero la simplificación de la derivada y la norma del vector resultante.

Learn how to calculate the arc length of vector function f(t) = (4cos(t), 3t + 4, 4sin(t) + 5) over the interval 0 ≤ t ≤ 2π. This problem involves parametric curves and the application of arc length formulas in vector calculus. Suitable for university-level mathematics.

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