Para encontrar la integral de la función \( 3x(x^2 - 2)^{20} \), utilizaremos el método de sustitución.

1. **Sustitución**: 
   Sea \( u = x^2 - 2 \). Entonces, la derivada de \( u \) con respecto a \( x \) es:
   \[
   \frac{du}{dx} = 2x \quad \Rightarrow \quad du = 2x \, dx
   \]
   Así que \( x \, dx \) se puede escribir como:
   \[
   x \, dx = \frac{1}{2} du
   \]

2. **Reescribiendo la integral**:
   Ahora, sustituyendo en la integral original, tenemos:
   \[
   \int 3x(x^2 - 2)^{20} dx = \int 3(x \, dx) \cdot u^{20} = \int 3 \cdot \frac{1}{2} du \cdot u^{20}
   \]
   Lo que simplifica a:
   \[
   \frac{3}{2} \int u^{20} du
   \]

3. **Integrando**:
   Integramos \( u^{20} \) con respecto a \( u \):
   \[
   \frac{3}{2} \int u^{20} du = \frac{3}{2} \cdot \frac{u^{21}}{21} = \frac{3}{42} u^{21} = \frac{1}{14} u^{21}
   \]

4. **Sustituyendo de vuelta**:
   Finalmente, sustituimos \( u = x^2 - 2 \) de vuelta:
   \[
   \frac{1}{14} (x^2 - 2)^{21} + C
   \]

Entonces, la primitiva es:
\[
\int 3x(x^2 - 2)^{20} dx = \frac{1}{14} (x^2 - 2)^{21} + C
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se aplica el método de sustitución en integrales más complejas?
2. ¿Qué otros métodos se pueden utilizar para integrar funciones complicadas?
3. ¿Cómo se verifican los resultados de una integral indefinida?
4. ¿Qué sucede si olvidamos agregar la constante de integración?
5. ¿Cómo afecta la derivada a la forma de la función original después de integrar?

**Tip:** Recuerda que la constante de integración \( C \) es crucial para la solución general de una integral indefinida.

Discover how to find the integral of 3x(x^2 - 2)^20 using the substitution method with a detailed step-by-step solution. This problem explores integral calculus concepts and the application of substitution rules in integration. Suitable for advanced high school students and above.

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