 (2 \sqrt{ xy  \phantom{\tiny{!}}}    -y)dx+xdy=0 

Para resolver la ecuación diferencial dada utilizando el método de separación de variables, primero reescribimos la ecuación en una forma más manejable. La ecuación diferencial dada es:

\[
\left(2 \sqrt{xy} - y\right)dx + x\,dy = 0
\]

### Paso 1: Reorganizar la ecuación

Llevamos uno de los términos al otro lado de la ecuación para poder separar las variables:

\[
(2 \sqrt{xy} - y)dx = -x\,dy
\]

### Paso 2: Separar las variables

Queremos escribir la ecuación de modo que los términos que involucran \(x\) estén en un lado y los términos que involucran \(y\) estén en el otro. Dividimos ambos lados por \(x\) y \(\sqrt{y}\) (asumiendo que \(y > 0\)):

\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}} dx - \frac{y}{x} dx = -dy
\]

Ahora, separamos los términos:

\[
\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{y}} dx - \frac{y}{x} dx = -dy
\]

Multiplicamos la ecuación por \(\sqrt{y}\) y reorganizamos los términos:

\[
2\sqrt{x} dx - \frac{y^{3/2}}{x} dx = - \sqrt{y} dy
\]

### Paso 3: Integrar ambos lados

Integramos ambos lados de la ecuación:

\[
\int 2\sqrt{x} dx - \int \frac{y^{3/2}}{x} dx = - \int \sqrt{y} dy
\]

Calculamos cada integral por separado:

1. Para la primera integral:

\[
\int 2\sqrt{x} dx = \frac{4}{3}x^{3/2} + C_1
\]

2. Para la segunda integral, \(y^{3/2}\) y \(x\) no son separables, por lo que es mejor reestructurar o utilizar métodos numéricos o simplificar la ecuación.

Dado que este método se vuelve muy complicado, una reestructuración más adecuada es posible. Por ello, intentemos con un método alternativo para la integración.

\[
dy / dx =  \frac{2\sqrt{xy}}{y} -1
\]

Simplificamos y llevamos a otro lado:

\(\)dy / dx =  \frac{2\sqrt{x}}{ \sqrt{y}} -1

Que podemos reestructurar a:

\(\)  dy /dx = f(x) g(y) 

Donde \(\) f(x) = (2 sqrt(x) y \(\)g(y)= 1 / sqrt (y)-1

El siguiente paso, implicaría hacer la integración de estos términos.

Learn how to solve the differential equation 2 sqrt(xy) - y dx + x dy = 0 using the method of separation of variables. This problem involves differential equations and separation techniques, suitable for college-level mathematics.

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