Se llevó a cabo una encuesta de mercado para calcular la proporción de amas de casa que reconocerían el nombre de la marca de un limpiador a partir de la forma y color del envase. De las 1,400 amas de casa de la muestra, 840 identificaron la marca por su nombre. 
a) Construya un intervalo de confianza de 93% para la proporción poblacional.
b) Construya un intervalo de confianza de 98% para la proporción poblacional.
c) Interprete sus conclusiones.


### Datos del problema:

- Tamaño de la muestra (\( n \)) = 1400
- Número de amas de casa que reconocen la marca (\( x \)) = 840
- Proporción muestral (\( \hat{p} \)) = \( \frac{840}{1400} = 0.6 \)

### a) Intervalo de confianza al 93% para la proporción poblacional

El intervalo de confianza para una proporción se calcula utilizando la fórmula:

\[
\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
\]

Donde:
- \( \hat{p} \) es la proporción muestral.
- \( Z_{\alpha/2} \) es el valor crítico correspondiente al nivel de confianza.
- \( n \) es el tamaño de la muestra.

Para un nivel de confianza del 93%, el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente 1.81.

Primero calculamos el error estándar:

\[
SE = \sqrt{\frac{0.6(1 - 0.6)}{1400}} = \sqrt{\frac{0.6 \cdot 0.4}{1400}} = \sqrt{\frac{0.24}{1400}} = \sqrt{0.00017143} \approx 0.0131
\]

Ahora construimos el intervalo:

\[
IC_{93\%} = 0.6 \pm 1.81 \cdot 0.0131
\]
\[
IC_{93\%} = 0.6 \pm 0.0237
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 93% es:

\[
IC_{93\%} = (0.5763, 0.6237)
\]

### b) Intervalo de confianza al 98% para la proporción poblacional

Para un nivel de confianza del 98%, el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente 2.33.

El error estándar sigue siendo el mismo:

\[
SE = 0.0131
\]

Ahora construimos el intervalo:

\[
IC_{98\%} = 0.6 \pm 2.33 \cdot 0.0131
\]
\[
IC_{98\%} = 0.6 \pm 0.0305
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 98% es:

\[
IC_{98\%} = (0.5695, 0.6305)
\]

### c) Interpretación de los resultados

- Para el nivel de confianza del 93%, podemos afirmar con un 93% de confianza que la proporción verdadera de todas las amas de casa que identificarían la marca por el nombre está entre 57.63% y 62.37%.
- Para el nivel de confianza del 98%, podemos afirmar con un 98% de confianza que la proporción verdadera de todas las amas de casa que identificarían la marca por el nombre está entre 56.95% y 63.05%.

Dado que el intervalo de confianza del 98% es más amplio que el del 93%, esto refleja la mayor certeza que obtenemos con un mayor nivel de confianza a costa de un intervalo más amplio.

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Qué sucede si el tamaño de la muestra aumenta?
2. ¿Cómo se calcula el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) para otros niveles de confianza?
3. ¿Qué sucede si la proporción muestral \( \hat{p} \) es muy cercana a 0 o 1?
4. ¿Cómo influye el error estándar en la amplitud del intervalo de confianza?
5. ¿Qué implicaciones tiene usar un nivel de confianza del 90% frente a uno del 99%?

### Tip:
Siempre asegúrate de que la muestra sea suficientemente grande para que los intervalos de confianza proporcionen estimaciones precisas.

Se llevó a cabo una encuesta de mercado para calcular la proporción de amas de casa que reconocerían el nombre de la marca de un limpiador a partir de la forma y color del envase. De las 1,400 amas de casa de la muestra, 840 identificaron la marca por su nombre. a) Construya un intervalo de confianza de 93% para la proporción poblacional. b) Construya un intervalo de confianza de 98% para la proporción poblacional. c) Interprete sus conclusiones.

Aprende a calcular los intervalos de confianza del 93% y 98% para la proporción poblacional en una encuesta de mercado sobre el reconocimiento de marca. Este problema involucra conceptos estadísticos clave como intervalos de confianza, proporciones muestrales, y utiliza la aproximación normal para distribuciones binomiales. Incluye un ejemplo detallado con 1,400 amas de casa y una proporción muestral de 60%.

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