Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas. ¿Encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todas las bombillas que producen está empresa

Para encontrar el intervalo de confianza del 96% para la media de la población de todas las bombillas que produce la empresa, utilizamos la fórmula del intervalo de confianza para la media cuando se conoce la desviación estándar de la población. La fórmula es:

\[ \bar{X} \pm Z_{\alpha/2} \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

donde:
- \(\bar{X}\) es la media muestral,
- \(Z_{\alpha/2}\) es el valor crítico de la distribución normal estándar correspondiente al nivel de confianza deseado,
- \(\sigma\) es la desviación estándar de la población,
- \(n\) es el tamaño de la muestra.

### Paso 1: Determinar el valor crítico \(Z_{\alpha/2}\)
Para un intervalo de confianza del 96%, \(\alpha = 1 - 0.96 = 0.04\), y \(\alpha/2 = 0.02\). Buscamos el valor \(Z\) tal que la cola de la distribución normal estándar a la derecha de \(Z\) tenga un área de 0.02. Este valor es aproximadamente \(Z_{0.02} = 2.05\).

### Paso 2: Calcular el margen de error
El margen de error se calcula como:

\[ E = Z_{\alpha/2} \left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \]

Dados:
- \(\bar{X} = 780\)
- \(\sigma = 40\)
- \(n = 30\)

Primero, calculamos \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\):

\[ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{30}} \approx 7.30 \]

Luego, multiplicamos por \(Z_{\alpha/2}\):

\[ E = 2.05 \times 7.30 \approx 14.97 \]

### Paso 3: Calcular el intervalo de confianza
El intervalo de confianza se calcula sumando y restando el margen de error a la media muestral:

\[ \bar{X} \pm E = 780 \pm 14.97 \]

Esto da los límites del intervalo:

\[ 780 - 14.97 \leq \mu \leq 780 + 14.97 \]

\[ 765.03 \leq \mu \leq 794.97 \]

### Respuesta
El intervalo de confianza del 96% para la media de la población de todas las bombillas que produce la empresa es \((765.03, 794.97)\).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar en el tema:

1. ¿Qué es un intervalo de confianza y por qué es útil en estadística?
2. ¿Cómo se determina el valor crítico \(Z_{\alpha/2}\) para diferentes niveles de confianza?
3. ¿Qué impacto tiene el tamaño de la muestra en el intervalo de confianza?
4. ¿Por qué se usa la desviación estándar de la población en lugar de la desviación estándar de la muestra?
5. ¿Cómo afecta una desviación estándar mayor al intervalo de confianza?
6. ¿Qué se puede concluir si el intervalo de confianza es muy amplio?
7. ¿Cuál es la diferencia entre un intervalo de confianza y un nivel de significancia?
8. ¿Qué otros métodos existen para calcular intervalos de confianza si no se conoce la desviación estándar de la población?

**Tip:** Aumentar el tamaño de la muestra generalmente reduce el margen de error y produce un intervalo de confianza más estrecho, proporcionando una estimación más precisa de la media de la población.

Aprende cómo calcular un intervalo de confianza del 96% para la media de la población de todas las bombillas de luz producidas por una empresa, con una muestra de 30 bombillas y una desviación estándar conocida. Solución detallada con fórmulas y pasos explicados.

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