En los resultados de una encuesta nacional de ocupación y empleo se observó que, de una muestra de 2000 trabajadores, en promedio los adultos trabajan 6.8 horas por día durante la semana laboral. Supón que la desviación estándar es de 1.2 horas. •	Utiliza el teorema de Chebyshev para calcular el porcentaje de individuos que trabajan entre 3.2 y 9.8 horas por día 

Para resolver el problema, utilizaremos el **teorema de Chebyshev**. Este teorema establece que, para cualquier conjunto de datos (independientemente de su distribución), al menos \(\frac{1}{k^2}\) de los valores caerán dentro de \(k\) desviaciones estándar de la media, donde \(k\) es cualquier número mayor que 1.

### Datos proporcionados:
- Media (\(\mu\)) = 6.8 horas
- Desviación estándar (\(\sigma\)) = 1.2 horas
- Intervalo dado: de 3.2 a 9.8 horas

### Paso 1: Determinar el valor de \(k\)

Primero, calculemos cuántas desviaciones estándar (\(k\)) hay entre la media y los extremos del intervalo.

- Para el límite inferior (3.2 horas):
  \[
  k_1 = \frac{\mu - 3.2}{\sigma} = \frac{6.8 - 3.2}{1.2} = \frac{3.6}{1.2} = 3
  \]

- Para el límite superior (9.8 horas):
  \[
  k_2 = \frac{9.8 - \mu}{\sigma} = \frac{9.8 - 6.8}{1.2} = \frac{3}{1.2} = 2.5
  \]

### Paso 2: Aplicar el teorema de Chebyshev

Chebyshev nos dice que al menos \(\frac{1}{k^2}\) de los valores caerán fuera de \(k\) desviaciones estándar de la media.

En este caso, tomamos \(k = 3\) ya que es el valor menor entre \(k_1\) y \(k_2\). Así, el teorema nos dice que al menos \(\frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}\) de los valores están fuera del rango.

Esto significa que al menos el \(1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\) de los valores estarán dentro de 3 desviaciones estándar de la media.

Convertido a porcentaje:
\[
\frac{8}{9} \times 100 \approx 88.89\%
\]

### Respuesta:

**De acuerdo con el teorema de Chebyshev, al menos el 88.89% de los individuos trabajan entre 3.2 y 9.8 horas por día.**

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo cambia el resultado si el intervalo fuera de 4.4 a 9.2 horas por día?
2. ¿Qué porcentaje de trabajadores estaría dentro de 2 desviaciones estándar de la media?
3. ¿Qué implicaciones tiene el teorema de Chebyshev en distribuciones no normales?
4. ¿Podrías explicar cómo se aplica el teorema de Chebyshev a una distribución normal?
5. ¿Cuál es la relación entre el teorema de Chebyshev y la Ley de los Grandes Números?

**Tip:** El teorema de Chebyshev es especialmente útil cuando no se conoce la distribución exacta de los datos, ya que proporciona un límite general aplicable a cualquier distribución.

En los resultados de una encuesta nacional de ocupación y empleo se observó que, de una muestra de 2000 trabajadores, en promedio los adultos trabajan 6.8 horas por día durante la semana laboral. Supón que la desviación estándar es de 1.2 horas. Utiliza el teorema de Chebyshev para calcular el porcentaje de individuos que trabajan entre 3.2 y 9.8 horas por día.

Learn how to apply Chebyshev's theorem to calculate the percentage of workers who work between 3.2 and 9.8 hours per day from a survey of 2000 workers, with a mean of 6.8 hours and a standard deviation of 1.2 hours. This guide includes key concepts from statistics and Chebyshev's inequality.

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