me harias el procedimiento completo de la sumatorias de riemman para calcualre el area de f(x)=9-x^2   a=0  b=5

Para calcular el área bajo la curva de la función \( f(x) = 9 - x^2 \) en el intervalo \( [0, 5] \) utilizando sumas de Riemann, seguimos un procedimiento que se basa en aproximar el área mediante la suma de áreas de rectángulos. Luego, tomamos el límite cuando el número de rectángulos tiende a infinito para obtener el área exacta. A continuación, te detallo el proceso paso a paso:

### 1. Dividir el intervalo en subintervalos
Dado que \( a = 0 \) y \( b = 5 \), dividimos el intervalo \( [0, 5] \) en \( n \) subintervalos de igual longitud. La longitud de cada subintervalo se calcula como:

\[
\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{5 - 0}{n} = \frac{5}{n}
\]

### 2. Elegir los puntos para evaluar la función
Para construir la suma de Riemann, necesitamos elegir un punto en cada subintervalo donde evaluaremos la función. Existen diferentes formas de elegir estos puntos:

- **Suma de Riemann con extremos izquierdos:** Tomamos el extremo izquierdo de cada subintervalo.
- **Suma de Riemann con extremos derechos:** Tomamos el extremo derecho de cada subintervalo.
- **Suma de Riemann con puntos medios:** Tomamos el punto medio de cada subintervalo.

Supongamos que usaremos los **extremos derechos** para esta aproximación. El extremo derecho de cada subintervalo se puede denotar como:

\[
x_i = a + i \Delta x = 0 + i \cdot \frac{5}{n} = \frac{5i}{n}
\]

para \( i = 1, 2, \ldots, n \).

### 3. Evaluar la función en los puntos seleccionados
La función a evaluar es \( f(x) = 9 - x^2 \). Evaluamos la función en los extremos derechos de los subintervalos:

\[
f(x_i) = 9 - \left( \frac{5i}{n} \right)^2 = 9 - \frac{25i^2}{n^2}
\]

### 4. Calcular la suma de Riemann
La suma de Riemann para \( n \) subintervalos usando los extremos derechos es:

\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left( 9 - \frac{25i^2}{n^2} \right) \cdot \frac{5}{n}
\]

Distribuyendo \( \frac{5}{n} \) en la suma:

\[
S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{45}{n} - \frac{125i^2}{n^3} \right)
\]

Esta suma se puede dividir en dos partes:

\[
S_n = \frac{45}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 - \frac{125}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2
\]

### 5. Usar fórmulas para las sumas
Sabemos que:

\[
\sum_{i=1}^{n} 1 = n
\]
\[
\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Sustituyendo en la expresión de la suma de Riemann:

\[
S_n = \frac{45}{n} \cdot n - \frac{125}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Simplificando:

\[
S_n = 45 - \frac{125(n+1)(2n+1)}{6n^2}
\]

### 6. Tomar el límite cuando \( n \to \infty \)
Para obtener el área exacta bajo la curva, tomamos el límite de la suma de Riemann cuando \( n \) tiende a infinito:

\[
\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( 45 - \frac{125(n+1)(2n+1)}{6n^2} \right)
\]

Al tomar el límite, el segundo término tiende a cero, ya que:

\[
\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = 2
\]

Por lo tanto:

\[
\lim_{n \to \infty} S_n = 45 - \frac{125 \cdot 2}{6} = 45 - \frac{250}{6} = 45 - 41.67 = 3.33
\]

### Conclusión
El área bajo la curva \( f(x) = 9 - x^2 \) en el intervalo \( [0, 5] \), calculada mediante sumas de Riemann, es aproximadamente \( 3.33 \) unidades cuadradas.

¿Te gustaría ver algún detalle adicional o tienes alguna pregunta sobre el proceso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambia la aproximación si usamos los puntos medios en lugar de los extremos derechos?
2. ¿Qué sucede si usamos menos subintervalos (un \( n \) pequeño)?
3. ¿Cómo se aplica la integral definida para resolver el área en lugar de las sumas de Riemann?
4. ¿Por qué el segundo término tiende a cero cuando \( n \) tiende a infinito?
5. ¿Cómo afecta el valor del área si cambiamos el límite inferior del intervalo?

### Tip:
Cuando trabajes con sumas de Riemann, es útil practicar con diferentes particiones para entender cómo la aproximación mejora al aumentar el número de subintervalos.

me harias el procedimiento completo de la sumatorias de riemman para calcualre el area de f(x)=9-x^2 a=0 b=5

Learn how to calculate the area under the curve of f(x)=9-x^2 on the interval [0, 5] using Riemann sums. This step-by-step guide covers key calculus concepts such as dividing intervals, evaluating functions, and using limits for accurate area approximation. Suitable for Grades 11-12 and early college students.

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