En York County, Carolina del Sur, hay 20,000 votantes. Una muestra aleatoria de 500 votantes de York County revelo que 350 planean votar por el regreso al senado de Louella Millar. 
a)	Construya un intervalo de confianza de 99% para la proporción de votantes que planea votar
b)	Construya un intervalo de confianza de 96% para la proporción de votantes que planea votar


Para resolver este problema, necesitamos construir dos intervalos de confianza para la proporción de votantes que planean votar por Louella Millar. Usaremos la fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional:

\[
IC = \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}
\]

Donde:
- \( \hat{p} \) es la proporción muestral.
- \( Z_{\alpha/2} \) es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado.
- \( n \) es el tamaño de la muestra.

### Datos:
- Tamaño de la muestra \( n = 500 \)
- Votantes a favor de Louella Millar: \( 350 \)
- Proporción muestral \( \hat{p} = \frac{350}{500} = 0.7 \)

#### a) Intervalo de confianza del 99%

1. **Valor crítico (Z) para un intervalo de confianza del 99%:**
   Para un nivel de confianza del 99%, el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente 2.576.

2. **Cálculo del error estándar:**
\[
SE = \sqrt{\frac{0.7(1 - 0.7)}{500}} = \sqrt{\frac{0.7 \times 0.3}{500}} = \sqrt{\frac{0.21}{500}} = \sqrt{0.00042} \approx 0.02049
\]

3. **Intervalo de confianza:**
\[
IC = 0.7 \pm 2.576 \times 0.02049
\]
\[
IC = 0.7 \pm 0.0527
\]
\[
IC = (0.6473, 0.7527)
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 99% es \( (0.6473, 0.7527) \).

#### b) Intervalo de confianza del 96%

1. **Valor crítico (Z) para un intervalo de confianza del 96%:**
   Para un nivel de confianza del 96%, el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente 2.054.

2. **Cálculo del error estándar:** El error estándar sigue siendo el mismo:
\[
SE = 0.02049
\]

3. **Intervalo de confianza:**
\[
IC = 0.7 \pm 2.054 \times 0.02049
\]
\[
IC = 0.7 \pm 0.04205
\]
\[
IC = (0.65795, 0.74205)
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza del 96% es \( (0.65795, 0.74205) \).

### Conclusión:
- El intervalo de confianza del 99% es \( (0.6473, 0.7527) \).
- El intervalo de confianza del 96% es \( (0.65795, 0.74205) \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se obtiene el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) en una tabla Z?
2. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra al ancho del intervalo de confianza?
3. ¿Qué sucede si se aumenta el nivel de confianza aún más, por ejemplo, al 99.9%?
4. ¿Por qué usamos la distribución normal en lugar de la t-student en este caso?
5. ¿Cómo cambiaría el intervalo de confianza si \( \hat{p} \) fuera diferente?

**Tip:** Un intervalo de confianza más grande implica mayor certeza de que contiene el valor verdadero, pero también es menos preciso.

En York County, Carolina del Sur, hay 20,000 votantes. Una muestra aleatoria de 500 votantes de York County revelo que 350 planean votar por el regreso al senado de Louella Millar. a) Construya un intervalo de confianza de 99% para la proporción de votantes que planea votar b) Construya un intervalo de confianza de 96% para la proporción de votantes que planea votar

Aprende a construir intervalos de confianza del 99% y 96% para la proporción de votantes en York County que planean votar por Louella Millar. Utilizamos conceptos clave como el intervalo de confianza y la distribución normal, junto con la proporción muestral y el error estándar. Adecuado para estudiantes de nivel avanzado.

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