tứ diện ABCD có AB=AC=AD và góc BAC=góc BAD=60 độ. HÃy xác định góc giữa các cặp vecto AB và CD

Cho tứ diện \( ABCD \) có các điều kiện sau:
- \( AB = AC = AD \),
- Góc \( \angle BAC = \angle BAD = 60^\circ \).

Chúng ta cần xác định góc giữa cặp vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \).

### Bước 1: Giả sử tọa độ của các điểm
Chúng ta có thể đặt các đỉnh của tứ diện trong không gian tọa độ sao cho đơn giản hóa bài toán:

- Đặt \( A \) tại gốc tọa độ \( A(0, 0, 0) \).
- Vì các cạnh \( AB = AC = AD \) và các góc \( \angle BAC = \angle BAD = 60^\circ \), chúng ta có thể giả định rằng:
  - Điểm \( B \) nằm trên trục \( x \), do đó, giả sử \( B(a, 0, 0) \).
  - Điểm \( C \) có tọa độ sao cho \( AC = AB \) và góc \( \angle BAC = 60^\circ \). Giả sử \( C \) nằm trên mặt phẳng \( xy \), có tọa độ \( C(a \cos 60^\circ, a \sin 60^\circ, 0) = (a/2, \sqrt{3}a/2, 0) \).
  - Điểm \( D \) phải nằm trong không gian để thỏa mãn \( AD = AB \) và góc \( \angle BAD = 60^\circ \). Giả sử \( D \) nằm trong không gian 3 chiều có tọa độ \( D(a/2, 0, \sqrt{3}a/2) \).

### Bước 2: Xác định vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \)
- Vector \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (a, 0, 0) - (0, 0, 0) = (a, 0, 0) \).
- Vector \( \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{C} = \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}a}{2} \right) - \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}, 0 \right) = (0, -\frac{\sqrt{3}a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}) \).

### Bước 3: Tính góc giữa hai vector
Góc giữa hai vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) được tính theo công thức:
\[
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{CD}|}
\]

- Tích vô hướng \( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} \):
\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = a \cdot 0 + 0 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}a}{2}\right) + 0 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}a}{2}\right) = 0
\]
Do tích vô hướng bằng 0, góc giữa hai vector là \( 90^\circ \).

### Kết luận
Góc giữa vector \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{CD} \) là \( 90^\circ \).

Bạn có muốn chi tiết thêm về cách làm hoặc có câu hỏi nào không? Dưới đây là một số câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để xác định tọa độ các đỉnh của tứ diện từ các điều kiện về cạnh và góc?
2. Tại sao tích vô hướng bằng 0 lại chỉ ra hai vector vuông góc?
3. Khi nào thì tứ diện trở thành đều?
4. Làm thế nào để tính góc giữa hai vector trong không gian ba chiều bất kỳ?
5. Làm sao để sử dụng tính chất hình học của tứ diện trong các bài toán vật lý?

**Mẹo:** Trong không gian ba chiều, góc giữa hai vector có thể được xác định dễ dàng nếu bạn biết công thức tích vô hướng và độ dài của các vector.

Learn how to calculate the angle between vectors AB and CD in tetrahedron ABCD, where AB = AC = AD and angles BAC = 60° and BAD = 60°. Detailed step-by-step solution provided.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation